山西省2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

2020~2021学年度山西省高一年级下学期期末考试
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：必修第一册，必修第二册。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．将圆锥的高缩短到原来的false，底面半径扩大到原来的2倍，则圆锥的体积（ ）
A．缩小到原来的一半 B．缩小到原来的false
C．不变 D．扩大到原来的2倍
3．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数false，false与函数false，false即为“同族函数”．下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为false，false，false，则密码能被译出的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．数据false，false，…，false的平均数为4，标准差为2，则数据false，false，…，false的方差和平均数分别为（ ）
A．36，14 B．14，36 C．12，19 D．4，12
6．设false为实数，已知向量false，false．若false，则向量false与false的夹角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．若false，false，false，则事件false与false的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．无法判断
8．右图是函数false(false，false)的部分图象，则（ ）
A．函数false的最小正周期为false
B．直线false是函数false图象的一条对称轴
C．点false是函数false图象的一个对称中心
D．函数false为奇函数
9．若定义在false上的奇函数false在false上单调递减，且false，则下列取值范围中的每个工都能使不等式false成立的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
10．如图，在直三棱柱false中，false，false，false是false的中一点，点false在false上，记false，若false平面false，则实数false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．1
11．如图所示，在正方体false中，点false，false，false，false分别为棱false，false，false，false上的中点，下列判断正确的是（ ）
A．直线false平面false B．直线false面false
C．平面false平面false D．平面false平面false
12．矩形false中，false，false，false是矩形false内(不含边框)的动点，false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数false，则false_______．
14．已知在false中，点false满足false，点false在线段false(不含端点false，false)上移动，若false，则false______．
15．一组数据共有7个整数，false，2，2，2，10，5，4，且false，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是______．
16．如图，在正三棱锥false中，底面边长为false，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点false，且false，则动点false在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17． (本小题满分10分)
在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，已知false．
(1)求角false；
(2)若false，false的面积为false，求false．
18．(本小题满分12分)
某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此药，结果如下：
治疗效果
病情好转
疗效不明显
病情恶化
人数
800
200
200
(1)若另一个人服用此药，请估计该病人病情恶化的概率；
(2)现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率．
19．(本小题满分12分)
已知向量false，false，false．
(1)求函数false的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当false时，关于false的不等式false有解，求实数false的取值范围．
20． (本小题满分12分)
如图，在四棱锥false中，false底面false，false，false，false，false，false是false的中点．
(1)求二面角false的大小；
(2)求证：false．
21．(本小题满分12分)
雪豹处于高原生态食物链的顶端，亦被人们称为“高海拔生态系统健康与否的气压计”。而由于非法捕猎等多种人为因素，雪豹的数量正急剧减少，现已成为濒危物种。在中国，雪豹的数量甚至少于大熊猫。某动物研究机构使用红外线触发相机拍摄雪豹的照片，已知红外线触发相机在它控制的区域内拍摄到雪豹的概率为0.2．
(1)假定有5个红外线触发相机控制某个区域，求雪豹进人这个区域后未被拍摄到的概率；
(2)要使雪豹一旦进人这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，需至少布置几个红外线触发相机(false)．
22．(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥false，false为等边三角形，直线false，false，false两两垂直，且false，false为线段false上的一点．
(1)若平面false平面false，求false；
(2)若三棱锥false的体积为四棱锥false体积的false，求点false到平面false的距离．
2020~2021学年度山西省高一年级下学期期末考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B false，false．
2．D 设圆锥原来的高和底面半径分别为false和false，圆锥原来体积为false，变化后为false，false，false．
3．A false，false，false在其定义域内都单调，false可构造同族函数，例如false，false和false，false.
4．D ∵甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为false，false，false，∴此密码不能译出的概率为false，故此密码能被译出的概率false．
5．A 数据false，false，…，false的平均数为4，标准差为2，所以数据false，false，…，false的方差为4，平均数为4．根据方差和平均数的性质可得false，false，…，false的方差为false，平均数为false．
6．A 由题意可知，由false，可得false，解得false，所以false，
又false，且false，false，
所以false．
7．B 因为false，所以false，又false，所以事件false与事件false不对立，
又因为false，所以有false，所以事件false与false相互独立但不一定互斥．
8．C 由题意可知，根据图像得到，false，false，则选项A错误;false，
又false，解得false，false，则false，false，
即false，false，所以直线false不是函数false
图象的一条对称轴，则选项B错误；false，
所以点false是函数false图象的一个对称中心，选项C正确；
false不是奇函数，所以选项D错误．
9．B 由题意可知，奇函数false在false上单调递减，且false，
则false在false上单调递增，所以可画出大致图像，而false可看作false的图像向左平移弯个单位，可在同一坐标系中作出图像，当false时，满足false恒成立．
10．D ∵false，false，∴false平面false，即false，
作false交false，于点false(图略)，此时false平面false，在矩形false中，false，
所以四边形false是正方形，所以false，所以false，又false为false的中点，
所以false为false的中点，即false，所以false．
11．D 过点false，false，false的截面如图所示(false，false，false均为中点)，所以直线false与其相交于false点，
故A项错误;直线false与直线false在平面false必定相交，故B项错误;直线false与直线false相交，
故平面false与平面false不平行，C项错误；直线false直线false，
直线false直线false，所以平面false平面false．
12．C 记false，则false，false，
false
false
false
false
false，false，
所以当false，false时，false取最小值false．
13．false false．
14．3如图，由题意得存在实数false，使得false．
又false，
所以false，所以false
所以false．
15．5 平均数false，众数=2，当false时，中位数为4，
则有false舍掉;
当false时，中位数为false，则有false．
该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7，
而且false，所以这组数据的第三四分位数为5．
16．false 如图，轨迹为曲线false，false，false，
则false，false，
false，又false，false
则false，false，
所以点false的轨迹长度为false．
17．解：(1)由正弦定理可得false，因为false，
所以false，
所以false，因为false，所以false．
(2)由(1)得false，因为false，所以false，
因为false，所以false，
由余弦定理得，false，所以false．
18．解：(1)由统计表可知在1200名志愿者中，服用药出现病情恶化的频率为false，所以估计另一个人服用此药病情恶化的概率为false．
(2)采用分层抽样的方法，从病情好转的志愿者中抽4人，从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组
成6个人的样本．
将6人中病情恶化的1人用符号A代替，其余5人分别用1，2，3，4，5代替，则从6人中任意抽取3人的基本事件表示如下：
(A，1，2)，(A，1，3)，(A，1，4)，(A，1，5)，(A，2，3)，(A，2，4)，(A，2，5)，(A，3，4)，(A，3，5)，(A，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，
(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，共20个基本事件．
其中没有抽到病情恶化的志愿者的基本事件为：
(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，(1，2，3)，(1，2．4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，共10个基本事件，
因此，抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为false．
19．解：(1)因为false
所以函数false的最小正周期false;
因为函数false的单调增区间为false，false，
所以false，false，
解得false，false，
所以函数false的单调增区间为false，false;
(2)不等式false有解，即false;
因为false，所以false，又false，
故当false，即false时， false取得最小值，且最小值为false，
所以false．
20．解:(1)因为false底面false，false平面false，所以false，
因为false，false，所以false平面false，
所以false．又false，故false为二面角false的平面角，
又false，
故二面角false的大小为false．
(2)证明:由于false平面false，所以false，
因为false是false的中点，所以false．
又false，所以false平面false，
又false平面false，所以false．
21．解:(1)雪豹被拍摄到的概率，即至少有1个红外线触发相机拍摄到雪豹的概率．
设雪豹被第false个红外线触发相机拍摄到的事件为false，
那么5个红外线触发相机都未拍摄到雪豹的事件为false．
∵事件false相互独立，
∴雪豹未被拍摄到的概率为
false．
∴雪豹未被拍摄到的概率为false．
(2)设至少需要布置false个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹，
∵由（1）可知，雪豹被拍摄到的概率为false，
∴令false，∴false，
两边取常用对数，得false．
∵false，∴false．
∴至少需要布置11个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹．
22．解：(1)连接false交false于点false，易知false为线段false的垂直平分线，
且false为false在平面false上的投影，所以false，
连接false，则false，又因为平面false平面false，
平面false平面false，
false平面false，所以false平面false，
又因为false平面false，所以false，
因为false，falseA0=v6，false，
又因为false，即false．
(2)方法一:过点false作平面false的垂线，垂足为false，
false
false．
false，
故false，解得false，
故点false到平面false距离为false．
方法二：∵false，
∴false．
∴false
∴false，即点false到平面false距离为false．