9.1随机抽样-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第九章
统计
9.1随机抽样
9.1.1简单随机抽样
9.1.2分层随机抽样
9.1.3获取数据的途径
【课程标准】
了解统计的基本概念
通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握抽签法和随机数表法
能合理地从实际问题的总体中抽取样本
通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法
在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题
了解获取数据的途径，包括统计报表和年鉴、社会调查、实验设计、普查和抽样、互联网等
【知识要点归纳】
1.统计中的相关概念
（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.
（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.
（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.
（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本.
（5）样本中包含的个体数称为样本量.
（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.
2.简单随机抽样
（1）有放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n（2）不放回简单随机抽样
如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.
（3）简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.
（4）简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
（5）简单随机抽样的常用方法
抽签法
编号②制签③
搅拌均匀
④抽取号签⑤抽取样本
随机数表法
编号②产生随机数③抽取样本
3.总体平均数与样本平均数
（1）总体平均数
①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.
②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
（2）样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
4.分层随机抽样
（1）分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ.
（2）比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
5.获取数据的途径
获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据
【经典例题】
例1（1）从某年级1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是　　
A．1
000名学生是总体
B．每个被抽查的学生是个体
C．抽查的125名学生的体重是一个样本
D．抽取的125名学生的体重是样本容量
（2）．关于简单随机抽样，下列说法中正确的是　　
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样．
A．①②③④
B．③④
C．①②③
D．①③④
（3）某校高中一年级有6个班，每班有43个同学，其中一个班是特长班．该年级的全体同学已经将各自的学号写在规格相同的小纸条上，放入一个大纸箱中摇匀，现在校长要通过抽样的方法调查该年级学生参加课外体育锻炼的情况，规定只对36个同学进行详细了解，以下抽样方法正确的是　　
A．从纸箱中无放回地随机取出36个学号，选取这36个学号的同学
B．各班的班主任在自己的班上点出6个同学
C．从纸箱中有放回地随机抽取36个学号，选取这36个学号的同学
D．从特长班中用随机抽样的方法选取36个同学
例2某校有学生1200人，为了调查某种情况打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随便机抽样将如何获得？
【分析】本题可以采用抽签法来抽取样本，把该校学生都编上号，用抽签法做1200个形状、大小相同的号签，然后将这些号签放到同一个箱子里，进行均匀搅拌，每次从中抽一个号签，连续抽取50次，就得到一个容量为50的样本．
【解答】解：本题可以采用抽签法来抽取样本，
首先把该校学生都编上号0001，0002，
用抽签法做1200个形状、大小相同的号签，然后将这些号签放到同一个箱子里，
进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽一个号签，连续抽取50次，就得到一个容量为50的样本．
【点评】本题考查简单随机抽样，抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，有可能产生坏样本．
例3．从编号依次为01，02，，20的20人中选取5人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为　　
5308
3395
5502
6215
2702
4369
3218
1826
0994
7846
5887
3522
2468
3748
1685
9527
1413
8727
1495
5656
A．09
B．02
C．15
D．18
例4.一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，岁的有280人，50岁以上的有95人．为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？
【分析】本题是一个分层抽样，根据单位共有职工500人，要取一个容量为100的样本，得到本单位每个职工被抽到的概率，从而知道不到每个职工被抽到的概率，即可得到答案．
【解答】解：抽取人数与职工总数的比是，则各年龄段（层的职工人数依次是，然后分别在各年龄段（层运用简单随机抽样方法抽取．
所以，在分层抽样时，不到35岁、岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人．
【点评】本题主要考查分层抽样，分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．
【课堂检测】
一．选择题（共7小题）
1．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：
①将总体中的个体编号；
②把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条制作）；
③将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；
④从这容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本．
这些步骤的先后顺序应为　　
A．①②③④
B．②③④①
C．①③④②
D．①④②③
2．下列问题中，最适合用简单随机抽样法抽样的是　　
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡有山地，丘陵，平地，洼地，现抽取估计全乡农田的平均产量
3．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是　　
A．500名学生是总体
B．每个被抽取的学生是个体
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
4．电影《你好，李焕英》于2021年2月12日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票房冠军．某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于　　
A．400
B．450
C．500
D．550
5．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体
“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
6．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检　　
A．20家
B．10家
C．15家
D．25家
7．某单位有管理人员、业务人员、后勤人员共人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员、业务人员、后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则的值为　　
A．170
B．180
C．150
D．160
二．填空题（共2小题）
8．假设要考察某公司生产的空调质量是否合格，现从800台空调中抽取60台进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800台空调按000，001，，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个个体的编号是　　．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84
42
17
53
31　57
24
55
06
88　77
04
74
47
67　21
76
33
50
25　83
92
12
06
76
63
01
63
78
59　16
95
55
67
19　98
10
50
71
75　12
86
73
58
07　44
39
52
38
79
33
21
12
34
29　78
64
56
07
82　52
42
07
44
38　15
51
00
13
42　99
66
02
79
54
9．下列抽样的方法属于简单随机抽样的有　　．
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本；
③将1000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个个体作为样本；
④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样过程中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【分析】根据抽签法的步骤：编号，做号签，放入容器，进行抽取的进行判断即可．
【解答】解：利用抽签法第一步要进行编号，然后做做号签，放入容器，最后按照逐个不放回地抽取号签．
故这些步骤的先后顺序应①②③④．
故选：．
【点评】本题主要考查对抽签法的理解，比较基础．
2．【分析】根据总体数据特点，分别适用哪种抽样特点，选取适当的抽样方法即可．
【解答】解：对于，电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是，抽取32名，符合系统抽样法特点，是系统抽样法；
对于，从10台冰箱中抽出3台进行质量检查，是简单随机抽样；
对于，学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，符合分层抽样特点，是分层抽样方法；
对于，某乡有山地，丘陵，平地，洼地，符合分层抽样特点，是分层抽样方法．
故选：．
【点评】本题考查了抽样方法的特点与应用问题，是基础题．
3．【分析】利用总体、个体、样本、样本容量的定义直接求解．
【解答】解：从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，
在中，500名学生的体重是总体，故错误；
在中，每个被抽查的学生的体重是个体，故错误；
在中，抽查的60名学生的体重是一个样本，故正确；
在中，60是样本容量，故错误．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查总体、个体、样本、样本容量的定义等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．【分析】这个样本的容量为，则，由此能求出这个样本的容量．
【解答】解：从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．
3个区人口数之比为，且人口最少的一个区抽出100人，
设这个样本的容量为，
则，
解得．
这个样本的容量等于450．
故选：．
【点评】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
5．【分析】在抽样过程中，个体每一次被抽中的概率是相等的，结合已知中的总体容量，可得答案．
【解答】解：在抽样过程中，个体每一次被抽中的概率是相等的，
总体容量为10，
故个体
“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为，
故选：．
【点评】本题考查的知识点是简单随机抽样，正确理解简单随机抽样中的等可能性，是解答的关键．
6．【分析】根据分层抽样原理求出粮食加工品店需要被抽检的家数．
【解答】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检（家．
故选：．
【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
7．【分析】先求出各层的人数，再结合分层抽样的特点即可求解结论．
【解答】解：抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤人员比业务人员少20人，
故抽取的业务人员有人，
抽取的后勤人员有人，
根据分层抽样的特点可得：，
故，
故选：．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
二．填空题（共2小题）
8．【分析】按照随机数表法抽取样本的步骤分析，即可得到答案．
【解答】解：由随机数表可以看出得到的前4个个体的编号是331，572，455，068．
所以得到的第4个个体的编号是068．
故答案为：068．
【点评】本题考查了简单随机抽样中的随机数表法的应用，解题的关键是掌握随机数表法抽取样本的步骤，属于基础题．
9．【分析】利用简单随机抽样的特点：（1）有限性；（2）逐个性；（3）不放回；（4）等概率，对选项逐一分析判断即可．
【解答】解：①中，简单随机抽样是从有限多个个体中抽取，所以①不属于简单随机抽样；
②中，简单随机抽样是逐个抽取，不能是一次性抽取，所以②不属于简单随机抽样；
③中，符合简单随机抽样的特点，所以③属于简单随机抽样；
④中抽样是放回抽样，而简单随机抽样是不放回抽样，所以④不属于简单随机抽样．
故答案为：③．
【点评】本题考查了简单随机抽样的理解和应用，解题的关键是掌握简单随机抽样的特点：（1）有限性；（2）逐个性；（3）不放回；（4）等概率．属于基础题．