9.2用样本估计总体第2课时-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第九章
统计
9.2.3
总体集中趋势的估计
9.2.4
总体离散程度的估计
9.3
统计案例
公司员工的肥胖情况调查
【课程标准】
结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）、理解集中趋势参数的统计含义
结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义
结合实例，能用样本估计总体的取值规律
【知识要点归纳】
1.众数、中位数、平均数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数.
（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.
（3）平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数.
2.总体集中趋势的估计
（1）平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.
（2）一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.
3.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法
（1）样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.
（2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.
（3）将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.
4.方差、标准差
（1）假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数＝，方差为s2＝(xi－)2，标准差
（2）如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝(Yi－)2.
（3）如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差.
（4）标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
【经典例题】
例1．运动员参加体操比赛，当评委亮分后，往往是先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是为了　　
A．减少计算量
B．避免故障
C．剔除异常值
D．活跃赛场气氛
例2．下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是　　
A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数
B．甲同学的成绩的方差大于乙同学的成绩的方差
C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差
D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数
例3．已知一组数据为，5，7，，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是　　．
例4．某校甲、乙两个班级各有6名编号为1，2，3，4，5，6的学生进行投篮练习，每人投15次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
6号
甲班
8
11
7
5
10
7
乙班
7
9
12
10
4
6
设以上两组数据的标准差中较小的一个为，则　　．
例题解析
1．【解答】解：因为在体操比赛中使用的是平均分，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，从而对选手的得分造成较大的影响．通过“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法降低误差，使得比赛尽量公平．
故选：．
2．【解答】解：对于，甲同学的平均成绩有一个内的数，两个内的数，没有内的数，
他的成绩低于乙同学的平均数，错误；
对于，甲同学的成绩更集中些，他的成绩方差小于乙同学成绩的方差，错误；
对于，由频数分布表知甲的极差可以为，乙的极差可以为，
所以甲的极差也可能大于乙的极差，错误；
对于，甲同学的中位数在，乙同学的中位数在，
所以甲的中位数小于乙的中位数，正确．
故选：．
3．【解答】解：根据题意，数据为，5，7，，11的众数为5，即5出现的次数最多，则，
把这组数据从小到大排列，得，5，5，7，11，
则数据的中位数是5，
故答案为：5．
4．【解答】解：甲班的方差较小，数据的平均值为7，
故方差．
标准差为：2．
故答案为：2．
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知样本数据，，，，其中，，的平均数为；，，，的平均数为，则样本数据的平均数为　　
A．
B．
C．
D．
2．样本，3，4，5，6的平均数为，且不等式的解集为，则这个样本的标准差是　　
A．
B．1
C．
D．2
3．甲、乙两名学生五次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等；
③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差．
以上说法正确的是　　
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，17，17，16，14，12，10，设平均数为，中位数为，众数为，则有　　
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共2小题）
5．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．
（1）求这100名学生中参加实践活动时间在小时内的人数；
（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．
6．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：，，的平均数为；，，的和为，
，，，的平均数为，，，，的和为，
则样本数据的和为，
样本数据的平均数为
故选：．
2．【解答】解：由一个样本，3，4，5，6的平均数为，
所以；
又不等式的解集为，
所以，
解得，
所以；
所以该样本的方差为：；
标准差为．
故选：．
3．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲同学成绩的中位数是90，乙同学成绩的中位数是90，中位数相等，①错误；
甲同学的平均分是，
乙同学的平均分是，平均分相等，②正确；
甲同学成绩的方差是，
乙同学成绩的方差是，，③正确；
综上，正确的命题是②③．
故选：．
4．【解答】解：由已知得：；
；
，
．
故选：．
二．解答题（共2小题）
5．【解答】解：（1）依题意，100名学生中参加实践活动的时间在小时内的人数为：
，
即这100名学生中参加实践活动时间在小时内的人数为58．
（2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，
故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时，
由，解得，
则，
即这100名学生参加实践活动时间的中位数为7.2小时，
这100名学生参加实践活动时间的平均数为：
小时．
6．【解答】解：（1）为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，
根据直方图得到（C）的估计值为0.70．
则由频率分布直方图得：
，
解得乙离子残留百分比直方图中，．
（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：
．
乙离子残留百分比的平均值为：
．