10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第十章
概率
10.2
事件的相互独立性
【课程标准】
理解相互独立事件的概念及意义
能记住相互独立事件概率的乘法公式；
能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题
【知识要点归纳】
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
【经典例题】
例1．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是　　
A．掷一枚骰子一次，事件
“出现偶数点”；事件
“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件
“第一次摸到白球”，事件
“第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件
“第一次摸到白球”，事件
“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件
“从甲组中选出1名男生”，事件
“从乙组中选出1名女生”
例2．中国2010年上海世博会已于2010年5月1日在上海隆重开馆．小王某天乘火车从重庆到上海去参观世博会，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
例3．计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
例题解析
1．【解答】解：根据事件的特点易知，事件是否发生对事情发生的概率没有影响，故与是相互独立事件，故，，属于相互独立事件．
对于：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件；
故选：．
2．【解答】解：用，，分别表示这三列火车正点到达的事件．
则（A），（B），（C）
所以，，，
（1）恰好有两列正点到达的概率为
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
3．【解答】解：（1）记“甲获得‘合格证书’”为事件，“乙获得‘合格证书’”为事件，
“丙获得‘合格证书’”为事件，
则
从而（A）（B）（C），
所以丙获得“合格证书”的可能性大（7分）
（2）记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件，
则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：
．
【课堂检测】
一．选择题（共5小题）
1．掷一枚硬币，记事件：“出现正面”，
：“出现反面”，则有　　
A．与相互独立
B．（A）（B）
C．与不相互独立
D．
2．若事件与相互独立，且（E），则的值等于　　
A．0
B．
C．
D．
3．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为　　
A．
B．
C．
D．
4．如图，元件，2，3，通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是　　
A．0.729
B．0.8829
C．0.864
D．0.9891
5．已知事件，发生的概率都大于零，则　　
A．如果，是互斥事件，那么与也是互斥事件
B．如果，不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件
C．如果，是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件
D．如果是必然事件，那么它们一定是对立事件
二．填空题（共2小题）
6．一出租车司机从饭店到火车站途中需经过6个交通岗．假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，且概率都是．这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率是　　．
7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是　　．
三．解答题（共1小题）
8．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：因为不可能同时发生的两个事件是互斥事件；事件（或是否发生对事件（或的发生的概率没有影响，则称这两个事件是相互独立事件，
故与不相互独立，，，不正确，
故选：．
2．【解答】解：
（E）
．
故选：．
3．【解答】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，
则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，
则（A），，（B），，
依题意得：，
解可得，，
故选：．
4．【解答】解：电流能通过、，的概率为，电流能通过的概率为0.9，
故电流不能通过、，且也不能通过的概率为，
故电流能通过系统、、的概率为，
而电流能通过的概率为0.9，
故电流能在，之间通过的概率是，
故选：．
5．【解答】解：．假设一个随机事件由、、、这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件中含有事件、、，事件中含有事件、、，则与不互斥，错误；
．相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是一个事件发生，另一个事件就不发生，根据定义可知错误；
．相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因而它们不可能为互斥事件，故正确；
．如果事件与事件有交集，则它们不是对立的，故错误；
故选：．
二．填空题（共2小题）
6．【解答】解：这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗，
这位司机第一个交通岗遇到绿灯，第二个交通岗遇到绿灯，第三个交通岗遇到红灯，
这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率是：
．
故答案为：．
7．【解答】解：设事件表示“甲通过听力测试”，事件表示“乙通过听力测试”．
依题意知，事件和相互独立，且（A），（B）．
记“有且只有一人通过听力测试”为事件，则，且和互斥．
故两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率为：
（C）
（A）（B）．
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
8．【解答】解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为、、，
则（A），（B），（C），
（Ⅰ）（A）（B）（C）
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．
（Ⅱ）
（A）（B）（C）（A）（B）（C）（A）（B）（C）
．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．