10.3频率与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第十章
概率
10.3
频率与概率
【课程标准】
1.
在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
2.
会用概率的意义解释生活中的实例
3.
会用随机模拟的方法估计概率
【知识要点归纳】
1.频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
2.频率与概率的区别与联系
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率
是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
【经典例题】
例1．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试上述数据，估计水库内鱼的尾数是　　
A．22000
B．23000
C．25000
D．26000
例2．袋子中有四个小球，分别写有“中”“国”“加”“油”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“加”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“中”“国”“加”“油”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
13　24　12　32　43　14　24　32　31　21
23　13　32　21　24　42　13　32　21　34
据此估计，直到第二次就停止概率为　　
A．
B．
C．
D．
例3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为　　
160
288
905
467
589
239
079
146
351
A．3
B．4
C．5
D．6
例题解析
1．【解答】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是，
则有，解得，
故选：．
2．【解答】解：经随机模拟产生了20组随机数13　24　12　32　43　14　24　32　31　2123　13　32　21　24　42　13　32　21　34中，恰好第二次就停止包含的结果有13，43，23，13，13共5个，
故直到第二次就停止概率．
故选：．
3．【解答】解：用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，
在下列随机数中表示结果为二白一黑的是：
288
905
079
146共4组．
故选：．
【课堂检测】
一．选择题（共5小题）
1．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为　　
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
2．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用表示“投进球”这一事件，则事件发生的　　
A．概率为
B．频率为
C．频率为8
D．概率接近0.8
3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间，上为一等品，在区间，和，为二等品，在区间，和，为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是　　
A．0.03
B．0.05
C．0.15
D．0.25
4．下列说法正确的是　　
A．任何事件的概率总是在之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
5．下列不能产生随机数的是　　
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
二．填空题（共1小题）
6．一家保险公司为了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，收集了20000辆汽车的信息，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为　　．
三．解答题（共1小题）
7．盒中有大小形状相同的5只白球，2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率．
（1）任取1只球，得到白球；
（2）任取3只球，恰有2只白球；
（3）任取3只球（分三次每次放回再取），恰有3只白球．
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．
共5组随机数，
所求概率为．
故选：．
2．【解答】解：投球1次即进行一次试验，连投球10次，即进行了10次试验，
用表示“投进球”这一事件，恰好投进了8次．则事件发生的频数为8，
事件发生的频率为：．
故选：．
3．【解答】解：在区间，和，为三等品，
由频率分布直方图得：
在区间，和，的频率为，
从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25．
故选：．
4．【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故、不正确．
频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故正确．
故选：．
5．【解答】解：项中，出现2的概率为，出现1，3，4，5的概率均是，则项不能产生随机数．
故选：．
二．填空题（共1小题）
6．【解答】解：因为实验次数较大，可用频率估计概率，
所以概率，
故一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为0.03．
故答案为：0.03．
三．解答题（共1小题）
7．【解答】解：用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球，任取三球，即每三个数一组，每组中的数字不同；而任取三球（分三次每次放回再取），每组中的三个数字可以相同，于是，用计算器或计算机产生1到7之间的取整数值的随机数，
（1）统计随机数个数及小于6的个数，则即为任取一球，得到白球的概率的近似值；
（2）三个一组（每组中数字不重复），统计总组数及恰有两个数字小于6的组数，则即为任取3球，恰有2只白球的概率的近似值；
（3）三个一组（每组中数字可以重复），统计总组数及三个数字都小于6的组数，则即为任取3球，恰有3只白球的概率的近似值．