陕西省西安市阎良区2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学（理科）试题 Word版含答案

阎良区2020～2021学年度第二学期期末质量检测
高二数学（理科）
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数false在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．曲线false在点（1，0）处的切线方程是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．false的展开式中，各项二项式系数的和是（ ）
A．1 B．-1 C．false D．false
4．设函数false的导函数为false，若false，则false等于（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．1
5．如图，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从false地出发，送货到false地，且途经false地，要求所走路程最短，不同的走法共有（ ）
A．100种 B．80种 C．60种 D．40种
6．在研究肥胖与高血压的关系时，通过收集数据、整理分析数据得到“高血压与肥胖有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是（ ）
A．在100个高血压患者中一定有肥胖的人
B．在100个肥胖的人中至少有99人患有高血压
C．在100个高血压患者中可能没有肥胖的人
D．肥胖的人至少有99％的概率患有高血压
7．在false中，内角false、false、false的对边分别为false、false、false，若false，false，则false的形状是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知false，false是平面向量，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若函数false在false上单调递增，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．在平面直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为参数），直线false的参数方程为false（false为参数）.若点false，直线false与曲线false交于false、false两点，则false的值为（ ）
A．2 B．5 C．false D．false
11．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式共有（ ）
A．78种 B．60种 C．144种 D．84种
12．设false，已知false，false，false，则false，false，false的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数false，则false的导函数false______.
14．已知false，false且false，则false的最小值为______.
15．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件false表示选出的两种中有一药，事件false表示选出的两种中有一方，则false______.
16．如图，false、false是椭圆false与双曲线false的公共焦点，false、false分别是false，false在第二、四象限的交点，若false，且false，则椭圆false与双曲线false的离心率之积为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系false中，直线false的直角坐标方程为false.以原点false为极点，false轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false.
（Ⅰ）求直线false的极坐标方程和曲线false的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线false与直线false和曲线false分别交于点false，false(点false异于点false)，求false.
18．（本小题满分12分）
已知等比数列false，满足false，false.
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列false的前false项和false.
条件①:设false；条件②:设false.
19．（本小题满分12分）
已知抛物线false的焦点为false，点false在抛物线false上，且false.
（Ⅰ）求抛物线false的方程；
（Ⅱ）过点false的直线false交抛物线false于不同的两点false，false，设false为坐标原点，直线false，false的斜率分别为false，false，求证：false为定值.
20．（本小题满分12分）
随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多.商家销售商品，既满足顾客需要，又为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系.为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格.某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据：
售价false(元/件)
3
4
5
6
7
日销量false（件）
69
57
54
40
30
（Ⅰ）由上表数据知，可用线性回归模型拟合false与false的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）
（Ⅱ）求false关于false的线性回归方程.
附：相关系数false，线性回归方程false的斜率和截距的最小二乘法估计分别为false，false.
参考数据：false，false，false，false.
21．（本小题满分12分）
为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表：
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村学校
40
城市学校
60
总计
100
60
160
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是false.
（Ⅰ）补全上面的列联表，并判断能否有99.5％的把握认为智慧课堂的应用与区域有关；
（Ⅱ）从经常应用智慧课堂的学校中，采用分层抽样的方法抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校到所在的地域进行核实，记其中农村学校的个数为false，求false的分布列和数学期望.
附：false，其中false.
false
0.500
0.050
0.005
false
0.445
3.841
7.879
22．（本小题满分12分）
已知函数false，false.
（Ⅰ）求false的最值；
（Ⅱ）设false，若关于false的不等式false在false上恒成立，求false的最小值.
阎良区2020～2021学年度第二学期期末质量检测
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．A 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．false 14．false 15．false 16．2
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（Ⅰ）直线false的直角坐标方程为false，
根据false转换为极坐标方程为false，
曲线false的极坐标方程为false，即false，
根据false转换为直角坐标方程为false.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线false的极坐标方程为false，
∵直线false与直线false和曲线false分别交于点false，false(点false异于点false)，
∴联立false解得false，联立false，解得false，
∴false.
18．解：（Ⅰ）设等比数列false的公比为false，
由于false，false，故false，解得false，
又false，∴false，
∴数列false的通项公式为false.
（Ⅱ）若选择条件①，则false，
此时false.
若选择条件②，则false，
此时false
false.
19．解：（Ⅰ）∵点false在抛物线false上，且false，
∴false，解得false，
∴抛物线false的方程为false.
（Ⅱ）证明:依题意，设直线false，false，false，
联立false消去false可得false，
由韦达定理有，false，
∴false，
即false为定值false.
20．解：（Ⅰ）相关系数false
由于false接近于1，
故false与false的线性相关程度相当大，
从而可以用线性回归模型拟合false与false的关系.
（Ⅱ）由表知，false，false，
又false，
∴false，
∴false关于false的线性回归方程为false.
21．解：（Ⅰ）补全的列联表如下：
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村学校
40
40
80
城市学校
60
20
80
总计
100
60
160
计算false，
∴能有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.
（Ⅱ）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：3，
抽取的5个学校中有2个是农村学校，3个是城市学校，
从中抽取2个，false的可能取值为0，1，2，
false，false，false，
∴false的分布列为：
false
0
1
2
false
false
false
false
数学期望false.
22．解：（Ⅰ）由题意得，false，false，false，
由false，得false，由false，得false，
∴函数false在false上单调递增，在false上单调递减，
∴false，无最小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，false，
又false在false上恒成立，
∴false，即false，
令false，则false，设false，则false，
∴函数false在false上单调递增，且false，false，
∴存在唯一的false，使得false，
当false时，false；当false时，false，
∴false，解得false，
∵false，∴false的最小值为2.