2021年暑假自主学习北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定优生提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》暑假自主学习
优生提升训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．已知AB＝3，AD＝4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（　　）
A．先增大，后减小 B．先减小，后增大
C．始终等于2.4 D．始终等于3
2．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC于E点，若BE＝4，则AD的长等于（　　）
A．8 B．10 C．3 D．4
3．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是　 　．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是AB上的一个动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为　 　．
5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　 　．
6．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是　 　．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF＝CD．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E在AD上，连接BE，CE，过点A作AG∥CE，分别交BC，BE于点G，F，连接DG交CE于点H．若AE＝2，求证：四边形EFGH是矩形．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
10．如图，四边形ABCD是矩形∠EDC＝∠CAB、∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE．
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．
（3）连接DF，若矩形ABCD的面积为S1，四边形CEDF的面积为S2，则＝　 　（直接写答案）．
11．如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线DE∥AB，分别交AE、AC于点E、F．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如果四边形ADCE是矩形，△ABC应满足什么条件？并说明理由；
（3）如果四边形ADCE是菱形，直接写出△ABC应满足的条件是　 　．
如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．
13．如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线DE∥AB，分别交AE、AC于点E、F．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如果四边形ADCE是矩形，△ABC应满足什么条件？并说明理由．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
15．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：
（1）∠PBA＝∠PCQ＝30°；
（2）PA＝PQ．
16．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE平分∠BAD．
17．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．
18．如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若∠A＝∠EFC，求证：四边形BECD是矩形．
19．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边的中点，过A点作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBF是矩形？请说明理由．
参考答案
1．解：过点A作AG∥BD，交CD的延长线于点G，
过点P作PH⊥AG于点H，过点A作AQ⊥BD于点Q，
∴∠GAD＝∠ODA
在矩形ABCD中，
∠OAD＝∠ODA，AB∥CD，AB＝CD，
∵AG∥BD，
∴∠ODA＝∠GAD，
∵PE⊥AC，
∴PH＝PE，
∵PF⊥BD，AG∥BD
∴H、P、F三点共线，
∴HF＝AQ，
∵AB＝3，AD＝4，
∴由勾股定理可知：BD＝5，
∵AQ?BD＝AB?AD，
∴AQ＝，
即PE+PF＝AQ＝，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，
∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，
∴a2+b2＝102，
又∵S矩形ABCD＝2S△ABC
∴ab＝2××10×4＝40，
∵BC＞AB，
解得：a＝4，b＝2，
即AD＝4，
故选：D．
3．解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；
理由如下：
∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH＝BD＝3cm，EF＝AC＝4cm，
∴HF＝＝5cm．
故答案为：5cm．
4．解：如图，连接CP．
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CNPM是矩形，
∴MN＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AC＝AB?CP，
即×4×3＝×5?CP，
解得CP＝2.4．
故答案为：2.4．
5．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
6．解：连接BD、AC；
∵H、G分别是AD、CD的中点，
∴HG是△DAC的中位线；
∴HG∥AC；
同理可证得EF∥AC，HE∥BD∥FG；
若四边形EHGF是矩形，则∠FEH＝∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°；
∴DB⊥AC．
故四边形ABCD应具备的条件为对角线互相垂直．
7．证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴EF＝CD．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AB＝4，AE＝2，
∴BE＝＝2，CE＝＝＝4，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∵AG∥CE，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CG＝AE＝2，AG＝CE＝4，
同理∠AGD＝90°，
∵AG∥CE，
∴∠EFG＝∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
9．（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝3，
在直角△ACD中，
AD＝＝4，
∴S矩形ADBE＝BD?AD＝3×4＝12．
10．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EDC＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴AC∥DE；
（2）四边形BCEF是平行四边形．
理由如下：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，DC＝AB
在△CDE和△BAF中，
，
∴△CDE≌△BAF（AAS），
∴CE＝BF，DE＝AF，
∵AC∥DE，
即DE＝AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，
∵AD＝BC，
∴EF＝BC，
∵CE＝BF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（3）如图，连接DF，
∵矩形ABCD的面积为S1＝AB×BC，四边形CEDF的面积为S2＝CD×EF＝AB×BC，∴＝2，
故答案为2．
11．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）解：如果四边形ADCE是矩形，△ABC是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
（3）如果四边形ADCE是菱形，△ABC是直角三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，AF＝FC，AD＝DC，
∵BD＝DC，
∴DE∥AB，
∴∠BAC＝DFC＝90°，
即△ABC是直角三角形．
故答案为：△ABC是直角三角形．
12．解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO
∴∠FAO＝∠ECO
∴在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF＝EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a
∴a2+22＝（3﹣a）2
∴a＝
则AE＝EC＝，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝
∴AO＝OC＝，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OF＝．
13．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）解：如果四边形ADCE是矩形，△ABC是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ADCE是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
所以MD长为5．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵△PBC和△QCD是等边三角形．
∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°．∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∠PCD＝∠BCD﹣∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD﹣∠PCD＝30°．
∴∠PBA＝∠PCQ＝30°．
（2）∵AB＝DC＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．
∴△PAB≌△PQC．
∴PA＝PQ．
16．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF+∠BFE＝90°．
∵EF⊥ED，
∴∠BEF+∠CED＝90°．
∴∠BFE＝∠CED．
∴∠BEF＝∠EDC．
在△EBF与△DCE中，
，
∴△EBF≌△DCE（ASA）．
∴BE＝CD．
∴BE＝AB．
∴∠BAE＝∠BEA＝45°．
∴∠EAD＝45°．
∴∠BAE＝∠EAD．
∴AE平分∠BAD．
17．解：△ABF≌△DEA．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC．
∵DE⊥AG于E，DE＝DC，
∴∠DEG＝90°，AB＝DE．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥CB．
∴∠DAE＝∠AFB．∠AED＝∠ABF＝90°，
∴△ABF≌△DEA（AAS）．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
∴BF＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠A＝∠EFC，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形
19．（1）证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又AF∥BC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD，又BD＝CD，
∴AF＝BD，又AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，四边形ADBF是矩形，
理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．