2021年暑假自主学习北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定优生提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》暑假自主学习
优生提升训练（附答案）
1．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
2．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
3．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
4．下列说法正确的有几个（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）
A．n B．n﹣1 C．4（n﹣1） D．4n
6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．20 B．16 C．34 D．25
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE∥CD于点E，PF∥BC于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF，其中正确结论的序号为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF是正方形．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是　 　（填序号）．
13．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为　 　．
14．如图，正方形OMNP的顶点与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2cm，则图中重叠部分的面积是　 　cm2．
15．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE、CE，∠CBE的度数是　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在边CD上，且DE＝2，F是对角线AC上一点，连接DF、EF，若∠AFD＝∠CFE，则DF+EF的值为　 　．
17．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　 　．
18．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，DF⊥AB，垂足为F，且DF＝CD，点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G，联结CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形．
（2）当AC＝BC时，求证：四边形CEFG是正方形．
20．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
参考答案
1．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以A选项错误，故不符合题意；
B．三个角都是直角的四边形是矩形，所以B选正确，故符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项错误，不符合题意；
D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选：A．
3．解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠FAD，∵∠FAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．
故选：D．
4．解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确；
④对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；
故选：C．
5．解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4＝1，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）＝n﹣1．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
7．解：延长PF交AB于点G，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为矩形，
又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴BE＝PE，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．
∴GB＝BE＝EP＝GP，
∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，
又∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS）．
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确；
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．
∴正确答案有①②③，
故选：B．
8．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
9．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
10．解：①∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝EC，
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
∵正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
故选：A．
11．解：当∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，
理由是：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝ACB＝＝45°＝∠CAB，
∴AD＝CD，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠CDA＝90°，AD＝CD，
∴四边形ADCF是正方形，
即当∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，
故答案为：90．
12．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为：②③④．
13．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝．
故答案为：．
14．解：如图，∵正方形ABCD和正方形OMNP的边长都是2cm，
∴OA＝OD，∠AOD＝∠POM＝90°，∠OAG＝∠DOF＝45°，
在△AOG和△DOF中，
∵，
∴△AOG≌△DOF（ASA），
∴S四边形OFDG＝S△AOD＝＝＝1；
则图中重叠部分的面积是1cm2，
故答案为：1．
15．解：∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵等边△ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝15°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝75°，
故答案为：75°．
16．解：过D作DH⊥AC于H，如图：
∵正方形ABCD的边长为5，DE＝2，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，AC＝5，CE＝3，
∵∠AFD＝∠CFE，
而AF+CF＝5，
∴AF＝，
∵AD＝5，DH⊥AC，∠DAC＝45°，
∴AH＝＝DH，
∴HF＝AF﹣AH＝，
Rt△DHF中，DF＝＝，
∵，
∴EF＝，
∴DF+EF＝．
故答案为：．
方法2：连接BF，如图：
由正方形ABCD对称性可得：DF＝BF,∠AFD＝∠AFB,
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠AFB＝∠CFE,
∴∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝180°,
∴B、F、E共线，
∵正方形ABCD的边长为5，DE＝2，
∴BE＝＝,
∴DF+EF＝BF+EF＝BE＝，
故答案为：．
17．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
18．解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中?，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
19．证明：（1）∵∠ACB＝90°，DF⊥AB，
∴∠DFA＝90°，
在Rt△ACD与Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴∠CAD＝∠FAD，AC＝AF，
在△ACG与△AFG中，
，
∴△ACG≌△AFG（SAS），
∴CG＝FG，∠CGA＝∠FGA，
∵FG∥CE，
∴∠FGA＝∠CEG，
∴∠CGE＝∠CEG，
∴CE＝CG，
∵点E为线段AD的中点，∠ACB＝90°，∠DFA＝90°，
∴CE＝AD，EF＝AD，AE＝AD，
∴CE＝EF＝AE，
∴CE＝CG＝GF＝EF，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B，
∵∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠CAB＝＝45°，
由（1）知，∠CAD＝∠FAD，
∴∠CAD＝∠FAD＝22.5°，
∵CE＝EF＝AE，
∴∠CAE＝∠ECA＝22.5°，∠FAE＝∠EFA＝22.5°，
∴∠CEG＝∠CAE+∠ECA＝45°，∠FEG＝∠FAE+∠EFA＝45°，
∴∠CEF＝∠CEG+∠GEF＝90°，
∵四边形CEFG是菱形，
∴四边形CEFG是正方形．
20．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．