2021年暑假自主学习北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定优生提升训练（Word版，附答案解析）

2021年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》暑假自主学习
优生提升训练（附答案）
1．菱形的对角线长分别是6和8，那么其边长是（　　）
A．5 B．10 C．20 D．40
2．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．4 B．10 C．12 D．16
3．如图，已知菱形OABC的两个顶点O（0，0），B（2，2），若将菱形绕点O以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2025秒时，菱形两对角线交点D的纵坐标为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
4．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．△ABD与△ABC的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍
C．△ABD与△ADC的周长相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两分之一
5．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（　　）
A．2 B． C．3 D．
6．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
7．如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣4.5，﹣3）
8．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．cm2 D．2cm2
二．填空题（共8小题）
9．如图，菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点F是BD上一点，EF⊥CF，AE⊥EF，AE＝3，EF＝4，则AB的长是　 　．
10．已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为　 　cm2．
11．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　 　．
12．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为　 　．
13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为　 　．
14．如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线分割成4个菱形，则a的值可以是　 　．
15．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分ABCD是一个菱形．菱形周长的最小值是　 　，菱形周长最大值是　 　．
16．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2，那么AP的长为　 　．
17．已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AD上一点，点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．
（1）求证：△EGD为直角三角形；
（2）若AB＝4，求线段EG的长．
18．如图四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝2，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
20．如图，已知：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD上一点，点E是对角线BD上异于点O的另一点，DO＝BE，连接AE和CE．
（1）S△OBC与S△OAB是否相等，请说明理由．
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AOCE是菱形，请说明理由．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．
22．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
23．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE＝AB．
（1）求证：∠ABE＝∠EAD；
（2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
24．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）若AD＝7，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积．
参考答案
1．解：如图，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，
则AC⊥BD，OB＝4，OA＝3，
∴AB＝，
故选：A．
2．解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH＝8，
∴AH＝＝＝16，
∵BC2＝CH2+BH2，
∴BC2＝（16﹣BC）2+64，
∴BC＝10，
故选：B．
3．解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（，），即（1，1）．
每秒旋转45°，则第2025秒时，得45°×2025，
45°×2025÷360＝253.125周，
∵OD旋转了253周，
∴菱形的对角线交点D的坐标为（0，），
∴菱形两对角线交点D的纵坐标为，
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BC，
△ABD的周长＝AB+BD+DA，△ABC的周长＝AB+BC+AC，
菱形ABCD的周长＝4AB，△ADC的周长＝AD+AC+CD，△ABC的周长＝△ADC的周长，
∴A、B、C不正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC?BD，
∴D正确；
故选：D．
5．解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积＝△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积＝AC?BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝2.5．
故选：B．
6．解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD＝BC＝CD＝AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．
故选：B．
7．解：如图，设AD与y轴交点为E，
∵点A的坐标为（﹣2，3），AD∥x轴，
∴AE＝2，OE＝3，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOE+∠DOE＝90°，∠EAO+∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠EAO，
又∵∠AEO＝∠OED＝90°，
∴DE＝4.5，
∴点D的坐标为（4.5，3），
∵点B与点D关于原点成中心对称，
∴点B的坐标为（﹣4.5，﹣3）．
故选：D．
8．解：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长2，
则菱形的面积＝2×2÷2＝2cm2
故选：D．
9．解：如图所示，连接AC交BD于H，延长AE与BC交于点M，交BH于点N，
在△ANH和△CHF中，
∴△ANH≌△CHF（AAS），
∴NH＝HF，AN＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴∠BCA＝60°，且BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC
又∵EF⊥CF，AE⊥EF，AE＝3，EF＝4，根据勾股定理：
∴AF＝CF＝AN＝5，EN＝2，
又∵EF＝4，
∴NF＝＝2，
∴NH＝HF＝，
∴CH＝＝2，
∴AB＝BC＝2×2＝4．
故答案为：4．
10．解：因为周长是40cm，所以边长是10cm．
如图所示：AB＝10cm，AC＝16cm．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO＝8cm，
∴BO＝6cm，BD＝12cm．
∴面积S＝×16×12＝96（cm2）．
故答案为96．
11．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，
∠ABC＝∠ADC＝150°，
∴∠DBA＝∠DBC＝75°，
∵ED＝EB，∠DEB＝120°，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝105°，
当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′＝30°，
∴∠E′BC＝∠DBC﹣∠DBE′＝45°，
∴∠EBC＝105°或45°，
故答案为105°或45°．
12．解：如图所示，
根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝5，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故答案为：20．
13．解：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝＝＝8，
∴AC＝2OA＝16，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×16×12＝96，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×96＝48；
故答案为：48．
14．解：如图所示，a＝4 或a＝2.5 或a＝或a＝；
故答案是：4或2.5或或．
15．解：当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2，
所以，菱形的周长＝4×2＝8；
如图，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，
设AB＝BC＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，BC2＝BE2+CE2，
即x2＝（8﹣x）2+22，
解得x＝，
所以，菱形的周长＝4×＝17．
故答案为：8；17．
16．解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD＝AB，DP＝BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB?cos30°＝3，BM＝AB?sin30°＝3，
∴PM＝＝，
∴AP＝AM+PM＝4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP＝AM﹣PM＝2；
当P与M重合时，PD＝PB＝3，与PB＝PD＝2矛盾，舍去．
AP的长为4或2．
故答案为4或2．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
∵点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．
∴AE＝GE，∠BAE＝∠BGE＝120°，
∴∠EGD＝60°，
∴∠GED＝90°，
∴△EGD为直角三角形；
（2）∵∠GED＝90°，∠ADB＝30°，
∴DE＝EG＝AE，
∵AB＝4，
∴AE+AE＝4，
∴AE＝2﹣2，
∴EG＝2﹣2．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，
∵AD∥BC，
∴∠CEG＝∠G＝30°，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠EAG＝90°，且∠G＝30°，
∴EG＝2AE＝4．
19．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为2，高为，
∴菱形的面积为2×＝2．
20．（1）解：结论：S△OBC＝S△OAB．
理由：连接AC交BD于K．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AK＝CK，
∴S△ABK＝S△BCK，S△AOK＝S△OCK，
∴S△OBC＝S△OAB．
（2）解：当AC⊥BD时，四边形AOCE是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AK＝KC，BK＝KD，
∵BE＝OD，
∴KE＝KO，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵AC⊥EO，
∴四边形AOCE是菱形．
21．解：（1）如图所示：
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠EBF＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
∵在△ABO和△FBO中，
，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO＝FO，
∵AF⊥BE，BO＝EO，AO＝FO，
∴四边形ABFE为菱形．
22．（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
23．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠EAD；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBE，
∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠ADB，
∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝2∠ADB﹣∠ADB＝∠ADB，
∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，
∵AD＝7，CE＝2，
∴AF＝AD﹣FD＝AD﹣CE＝7﹣2＝5，BF＝8，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝4，
在Rt△AOF中，∵AO2＝AF2﹣OF2，
∴AO＝＝＝3，
∴AE＝2AO＝6，
∴菱形ABEF的面积为AE?BF＝BE?FG，
∴×6×8＝5×FG，
解得FG＝，
∴平行四边形ABCD的面积为AD?FG＝7×＝．