2020--2021学年人教版七年级数学上册《1.4有理数的乘除法》培优练习（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2020--2021学年人教版七年级数学上册《1.4有理数的乘除法》培优练习（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 167.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-06 17:33:19 | ||
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文档简介
（基础版）2021年人教版七年级数学上册《1.4有理数的乘除法》培优同步练习
一．选择题（共12小题）
1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
3．学校小商店有两种圆珠笔，小明带的钱刚好可以买4支单价是1.5元的，如果他想买单价是2元的，可以买（ ）支．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如果a+b＞0，且ab＞0，那么（ ）
A．a、b异号且负数的绝对值较小
B．a、b异号且正数的绝对值较小
C．a＜0，b＜0
D．a＞0，b＞0
5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ）
①a+b＞0；
②a﹣b＜0；
③ab＞0；
④＜0．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，用大长方形表示“1”，下列算式中，能正确表示图中含义的是（ ）
A．× B．× C．× D．×
7．在﹣4，﹣2，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．15 B．40 C．24 D．30
8．一个数的是，这个数是（ ）
A．9 B． C． D．
9．数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＞0 D．a﹣b＞0
10．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．关于代数式a2+的值，以下结论不正确的是（ ）
A．当a取互为相反数的值时，a2+的值相等
B．当a取互为倒数的值时，a2+的值相等
C．当|a|＞1时，|a|越大，a2+的值就越大
D．当0＜|a|＜1时，|a|越大，a2+的值就越大
二．填空题（共8小题）
13．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ ．
14．计算：﹣0.125÷＝ ．
15．在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ．
16．六（8）班参加数学竞赛，女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，比赛结束，获奖人数是参赛人数的，有 人获奖．
17．将四个数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样得到的四位数共有 个．
18．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 ，B部分的数是 ．
19．已知有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，若x＝，则x3的值为 ．
20．已知有理数a，b满足ab＜0，4a+b﹣3＝|b﹣a|，则a+b的值为 ．
三．解答题（共6小题）
21．计算：．
22．计算：（﹣0.25）×（﹣25）×（﹣4）．
23．定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
24．求证：+++……+＜1．
25．已知ab＜0，＞0．b＞|a|＞|c|．
（1）a 0，b 0，c 0；
（2）化简|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|．
26．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若ab＝6，则a+b的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号）
（2）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为 ；
【拓展】
（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab＜0，试比较a+b与0的大小．
（基础版）2021年人教版七年级数学上册《1.4有理数的乘除法》培优同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】利用有理数的乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝|﹣2×4×|＝|﹣2|＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
【分析】原式利用除法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣8÷2
＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
3．学校小商店有两种圆珠笔，小明带的钱刚好可以买4支单价是1.5元的，如果他想买单价是2元的，可以买（ ）支．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：4×1.5÷2＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．如果a+b＞0，且ab＞0，那么（ ）
A．a、b异号且负数的绝对值较小
B．a、b异号且正数的绝对值较小
C．a＜0，b＜0
D．a＞0，b＞0
【分析】由ab＞0知a与b同号，结合a+b＞0知a＞0，b＞0．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a与b同号，
又a+b＞0，
∴a＞0，b＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘法和加法法则中对符号的规定．
5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ）
①a+b＞0；
②a﹣b＜0；
③ab＞0；
④＜0．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先根据数轴确定a，b的符号和大小，再根据有理数的运算法则进行分析判断．
【解答】解：由数轴，得a＜0＜b，|a|＞|b|．
①根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，则a+b＜0，故本选项不成立；
②较小的数减去较大的数，则差一定小于0，则a﹣b＜0，故本选项成立；
③异号两数相乘，积小于0，则ab＜0，故本选项不成立；
④异号两数相除，商小于0，则＜0，故本选项成立．
故选：C．
【点评】此题考查了数轴以及有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．如图，用大长方形表示“1”，下列算式中，能正确表示图中含义的是（ ）
A．× B．× C．× D．×
【分析】首先把大长方形看作单位“1”，平均分成2份，画斜线表示大长方形的，再把大长方形的看再单位“1”，平均分成3份（也就是把大长方形平均分成3×2份），画阴影表示的，据此解答．
【解答】解：能正确表示图中含义的是×．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘法，掌握一个数乘分数的意义及应用，一个数乘分数表示求这个数的几分之几是多少是解题的关键．
7．在﹣4，﹣2，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．15 B．40 C．24 D．30
【分析】取出三个数，使其积最大即可．
【解答】解：（﹣4）×（﹣2）×5＝40，
则任意三数之积的最大值是40．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．一个数的是，这个数是（ ）
A．9 B． C． D．
【分析】根据题意得出有理数除法算式解答即可．
【解答】解：这个数是，
故选：D．
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出有理数除法算式解答．
9．数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＞0 D．a﹣b＞0
【分析】根据图示，可得：a＜b＜0，据此逐项判断即可．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴ab＞0，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b＜0，
∴a+b＜0，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b＜0，
∴＞0，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
10．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
【分析】利用倒数的性质得到ab＝1，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：ab＝1，
则2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数以及有理数的运算，正确掌握倒数的定义是解题的关键．
11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】通过计算两个数的乘积，可以看出乘积中的数字的奇数的个数．
【解答】解：∵1111111111×9999999999
＝1111111111×（10000000000﹣1）
＝1111111110000000000﹣1111111111
＝1111111108888888889，
∴乘积有9个数字是奇数．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘法的应用．
12．关于代数式a2+的值，以下结论不正确的是（ ）
A．当a取互为相反数的值时，a2+的值相等
B．当a取互为倒数的值时，a2+的值相等
C．当|a|＞1时，|a|越大，a2+的值就越大
D．当0＜|a|＜1时，|a|越大，a2+的值就越大
【分析】根据倒数、相反数的定义以及不等式的性质来解决代数式的值．
【解答】解：A、当a取互为相反数的值时，即取m和﹣m，
当a＝m时，a2+＝m2+①．
当a＝﹣m时，a2+＝（﹣m）2+＝m2+②．
此时①＝②，
故本选项不符合题意．
B、当a取互为倒数的值时，即取m和，
当a＝m时，a2+＝m2+①．
当a＝时，a2+＝+m2②．
此时①＝②，
故本选项不符合题意．
C、可举例判断，当|a|＞1时，取a＝2，3（2＜3），则22+＝4+＜32+＝9+．
故本选项不符合题意．
D、可举例判断，当0＜|a|＜1时，取a＝，（）．则（）2+＝4+＜（）2+＝9+．
故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ 0 ．
【分析】由4个不相等的整数a、b、c、d，将25进行因数分解可知25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），即可求解．
【解答】解：∵a、b、c、d是4个不相等的整数，
∴25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），
∴a+b+c+d＝1+5+（﹣1）+（﹣5）＝0；
故答案为0．
【点评】本题考查有理数的乘法；能够将25进行准确的因数分解是解题的关键．
14．计算：﹣0.125÷＝ ﹣ ．
【分析】将有理数的除法转化为有理数的乘法进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣×＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】考查了有理数的除法的知识，解题的关键是能够将0.125转化为分数，难度不大．
15．在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ﹣24 ．
【分析】从四个数中取三个数相乘，分别求出它们的积即可得到a、b的值，从而得出答案．
【解答】解：在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，一共有四种情况：
①（﹣2）×3×4＝﹣24，
②（﹣2）×3×（﹣6）＝36，
③（﹣2）×4×（﹣6）＝48，
④3×4×（﹣6）＝﹣72，
∵所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，
∴a＝48，b＝﹣72，
∴a+b＝﹣24，
故答案为：﹣24．
【点评】本题考查有理数的乘法，解题的关键是分别求出三个数相乘的积，得到a、b的值．
16．六（8）班参加数学竞赛，女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，比赛结束，获奖人数是参赛人数的，有 6 人获奖．
【分析】先求出男生的参赛人数，再求出参赛的总人数，最后求出获奖人数．
【解答】解：∵女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，
∴男生参赛人数为12÷＝18（人）．
∴参赛的总人数为12+18＝30（人）．
∵获奖人数是参赛人数的，
∴获奖人数为30×＝6（人）．
故答案为6．
【点评】本题主要考查了有理数的除法和有理数的乘法，根据已知条件判断是何种运算是解题的关键．
17．将四个数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样得到的四位数共有 8 个．
【分析】根据若一个数是11的倍数，则奇数数位上的数字之和等于偶数数位上的数字之和，结合题意，组成四位数的数字分别为1，2，3，4，可以写出符合条件的四位数共8个．
【解答】解：∵若一个数是11的倍数，则奇数数位上的数字之和等于偶数数位上的数字之和，
而组成四位数的数字分别为1，2，3，4，
∴符合条件的四位数分别为：1243，4213，1342，4312，2134，2431，3124，3421．
∴符合条件的四位数共有8个．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法的应用．
18．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 1、2、3、4、5、8、9、10 ，B部分的数是 6、7 ．
【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的乘法法则求解即可．
【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，
所以B部分的元素之积小于55，
而1+2+3+4+5+8+9+10＝6×7＝42，
∴A部分的数是1、2、3、4、5、8、9、10；B部分的数是：6、7．
故答案为：1、2、3、4、5、8、9、10；：6、7．
【点评】本题考查了有理数的加法与乘法，求出B部分的元素之积的范围是解答本题的关键．
19．已知有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，若x＝，则x3的值为 ﹣8 ．
【分析】根据有理数的加法和有理数的乘法运算法则判断出a、b、c中三个数中只有一个负数，然后根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a、b、c中三个数中既有正数又有负数，且b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∵abc＜0，
∴a、b、c中三个数中只有一个负数，
不妨设a＜0，b＞0，c＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，|c|＝c，
∴x＝＝＝1﹣1﹣1﹣1＝﹣2，
∴x3＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查有理数的加法法则，有理数的乘法法则及绝对值的性质；判断出负数的个数是本题的难点．
20．已知有理数a，b满足ab＜0，4a+b﹣3＝|b﹣a|，则a+b的值为 ．
【分析】首先根据有理数a，b满足ab＜0，|a+b|＝﹣a﹣b，可得：a+b＜0，当a＞0，b＜0，当a＜0，b＞0，根据绝对值的意义即可得到结论．
【解答】解：∵有理数a，b满足ab＜0，
∴a，b异号，
当a＞0，b＜0，
∴b﹣a＜0，
∵4a+b﹣3＝|b﹣a|，
∴4a+b﹣3＝a﹣b，
∴3a+2b＝3，
∴a+b＝＝，
当a＜0，b＞0，b﹣a＞0，
∵4a+b﹣3＝|b﹣a|，
∴4a+b﹣3＝b﹣a，
∴a＝＞0（这种情况不存在），
综上所述，a+b的值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
三．解答题（共6小题）
21．计算：．
【分析】原式从左到右依次计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣÷（﹣）×
＝﹣×（﹣）×
＝．
【点评】此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．计算：（﹣0.25）×（﹣25）×（﹣4）．
【分析】根据有理数乘法法则计算即可求解．
【解答】解：原式＝﹣0.25×25×4
＝﹣0.25×100
＝﹣25．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数乘法法则是解题的关键，注意运算律的合理运用．
23．定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【解答】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4+4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2+7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a＝7（a+b），
化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，
∴它们的和＝21+42+63+84＝210．
【点评】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键．
24．求证：+++……+＜1．
【分析】根据分数的性质将1转化为2n个相加，再进行比较即可．
【解答】解：+++……+＜＝1，
∴+++……+＜1．
【点评】本题主要考查倒数的性质和应用，熟练掌握分数的性质是解答本题的关键．
25．已知ab＜0，＞0．b＞|a|＞|c|．
（1）a ＜ 0，b ＞ 0，c ＞ 0；
（2）化简|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|．
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则和有理数除法运算法则，绝对值的非负性可判断a＜0，b＞0，c＞0；
（2）根据有理数加法运算法则和有理数减法运算法则，以及绝对值的性质，去绝对值，然后再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵＞0，
∴b，c同号，
∵b＞|a|＞|c|
∴b＞0，
∴c＞0，a＜0．
故答案为：＜，＞，＞．
（2）由（1）可得，a﹣b＜0，c+b＞0，c+a＜0，
∴|a﹣b|＝﹣a+b，|c+b|＝c+b，|c+a|＝﹣c﹣a．
∴|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|
＝﹣a+b+c+b﹣2（﹣c﹣a）
＝﹣a+b+c+b+2c+2a
＝a+2b+3c．
【点评】本题考查了有理数的加减、乘除的运算法则及绝对值的化简，解决本题的关键是根据法则和绝对值确定a、b、c的正负．
26．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若ab＝6，则a+b的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ①② ；（填序号）
（2）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为 6 ；
【拓展】
（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab＜0，试比较a+b与0的大小．
【分析】（1）a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案；
（2）ab最大，需a、b同号，而a+b＝﹣5知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案；
（3）a、b异号，分类讨论a+b与0的大小．
【解答】解：（1）∵ab＝6，
∴a、b同号，
∴a、b同为正数时，a+b＞0；
a、b同为负数时，a+b＜0；
故答案为：①②；
（2）∵a+b＝﹣5，ab最大，
∴a、b同号，
∵a+b＝﹣5，
∴a、b同为负数，
∵a、b为整数，
∴a、b分别为﹣1和﹣5，此时ab＝5，；或a、b分别为﹣2和﹣3，此时ab＝6，
故答案为：6；
（3）∵ab＜0，
∴a、b异号，
设a＞0，则b＜0，
若|a|＞|b|，则a+b＞0，
若|a|＝|b|，则a+b＝0，
若|a|＜|b|，则a+b＜0．
【点评】本题考查有理数加法、乘法的符号法则，解题的关键是分类讨论．
一．选择题（共12小题）
1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
3．学校小商店有两种圆珠笔，小明带的钱刚好可以买4支单价是1.5元的，如果他想买单价是2元的，可以买（ ）支．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如果a+b＞0，且ab＞0，那么（ ）
A．a、b异号且负数的绝对值较小
B．a、b异号且正数的绝对值较小
C．a＜0，b＜0
D．a＞0，b＞0
5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ）
①a+b＞0；
②a﹣b＜0；
③ab＞0；
④＜0．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，用大长方形表示“1”，下列算式中，能正确表示图中含义的是（ ）
A．× B．× C．× D．×
7．在﹣4，﹣2，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．15 B．40 C．24 D．30
8．一个数的是，这个数是（ ）
A．9 B． C． D．
9．数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＞0 D．a﹣b＞0
10．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．关于代数式a2+的值，以下结论不正确的是（ ）
A．当a取互为相反数的值时，a2+的值相等
B．当a取互为倒数的值时，a2+的值相等
C．当|a|＞1时，|a|越大，a2+的值就越大
D．当0＜|a|＜1时，|a|越大，a2+的值就越大
二．填空题（共8小题）
13．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ ．
14．计算：﹣0.125÷＝ ．
15．在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ．
16．六（8）班参加数学竞赛，女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，比赛结束，获奖人数是参赛人数的，有 人获奖．
17．将四个数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样得到的四位数共有 个．
18．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 ，B部分的数是 ．
19．已知有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，若x＝，则x3的值为 ．
20．已知有理数a，b满足ab＜0，4a+b﹣3＝|b﹣a|，则a+b的值为 ．
三．解答题（共6小题）
21．计算：．
22．计算：（﹣0.25）×（﹣25）×（﹣4）．
23．定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
24．求证：+++……+＜1．
25．已知ab＜0，＞0．b＞|a|＞|c|．
（1）a 0，b 0，c 0；
（2）化简|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|．
26．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若ab＝6，则a+b的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号）
（2）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为 ；
【拓展】
（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab＜0，试比较a+b与0的大小．
（基础版）2021年人教版七年级数学上册《1.4有理数的乘除法》培优同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】利用有理数的乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝|﹣2×4×|＝|﹣2|＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．计算8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣4 B．﹣16 C．﹣6 D．10
【分析】原式利用除法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣8÷2
＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
3．学校小商店有两种圆珠笔，小明带的钱刚好可以买4支单价是1.5元的，如果他想买单价是2元的，可以买（ ）支．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：4×1.5÷2＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．如果a+b＞0，且ab＞0，那么（ ）
A．a、b异号且负数的绝对值较小
B．a、b异号且正数的绝对值较小
C．a＜0，b＜0
D．a＞0，b＞0
【分析】由ab＞0知a与b同号，结合a+b＞0知a＞0，b＞0．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a与b同号，
又a+b＞0，
∴a＞0，b＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘法和加法法则中对符号的规定．
5．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ）
①a+b＞0；
②a﹣b＜0；
③ab＞0；
④＜0．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先根据数轴确定a，b的符号和大小，再根据有理数的运算法则进行分析判断．
【解答】解：由数轴，得a＜0＜b，|a|＞|b|．
①根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，则a+b＜0，故本选项不成立；
②较小的数减去较大的数，则差一定小于0，则a﹣b＜0，故本选项成立；
③异号两数相乘，积小于0，则ab＜0，故本选项不成立；
④异号两数相除，商小于0，则＜0，故本选项成立．
故选：C．
【点评】此题考查了数轴以及有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．如图，用大长方形表示“1”，下列算式中，能正确表示图中含义的是（ ）
A．× B．× C．× D．×
【分析】首先把大长方形看作单位“1”，平均分成2份，画斜线表示大长方形的，再把大长方形的看再单位“1”，平均分成3份（也就是把大长方形平均分成3×2份），画阴影表示的，据此解答．
【解答】解：能正确表示图中含义的是×．
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘法，掌握一个数乘分数的意义及应用，一个数乘分数表示求这个数的几分之几是多少是解题的关键．
7．在﹣4，﹣2，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．15 B．40 C．24 D．30
【分析】取出三个数，使其积最大即可．
【解答】解：（﹣4）×（﹣2）×5＝40，
则任意三数之积的最大值是40．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．一个数的是，这个数是（ ）
A．9 B． C． D．
【分析】根据题意得出有理数除法算式解答即可．
【解答】解：这个数是，
故选：D．
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出有理数除法算式解答．
9．数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＞0 D．a﹣b＞0
【分析】根据图示，可得：a＜b＜0，据此逐项判断即可．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴ab＞0，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b＜0，
∴a+b＜0，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b＜0，
∴＞0，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
10．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5
【分析】利用倒数的性质得到ab＝1，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：ab＝1，
则2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数以及有理数的运算，正确掌握倒数的定义是解题的关键．
11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】通过计算两个数的乘积，可以看出乘积中的数字的奇数的个数．
【解答】解：∵1111111111×9999999999
＝1111111111×（10000000000﹣1）
＝1111111110000000000﹣1111111111
＝1111111108888888889，
∴乘积有9个数字是奇数．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘法的应用．
12．关于代数式a2+的值，以下结论不正确的是（ ）
A．当a取互为相反数的值时，a2+的值相等
B．当a取互为倒数的值时，a2+的值相等
C．当|a|＞1时，|a|越大，a2+的值就越大
D．当0＜|a|＜1时，|a|越大，a2+的值就越大
【分析】根据倒数、相反数的定义以及不等式的性质来解决代数式的值．
【解答】解：A、当a取互为相反数的值时，即取m和﹣m，
当a＝m时，a2+＝m2+①．
当a＝﹣m时，a2+＝（﹣m）2+＝m2+②．
此时①＝②，
故本选项不符合题意．
B、当a取互为倒数的值时，即取m和，
当a＝m时，a2+＝m2+①．
当a＝时，a2+＝+m2②．
此时①＝②，
故本选项不符合题意．
C、可举例判断，当|a|＞1时，取a＝2，3（2＜3），则22+＝4+＜32+＝9+．
故本选项不符合题意．
D、可举例判断，当0＜|a|＜1时，取a＝，（）．则（）2+＝4+＜（）2+＝9+．
故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝25，则a+b+c+d＝ 0 ．
【分析】由4个不相等的整数a、b、c、d，将25进行因数分解可知25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），即可求解．
【解答】解：∵a、b、c、d是4个不相等的整数，
∴25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），
∴a+b+c+d＝1+5+（﹣1）+（﹣5）＝0；
故答案为0．
【点评】本题考查有理数的乘法；能够将25进行准确的因数分解是解题的关键．
14．计算：﹣0.125÷＝ ﹣ ．
【分析】将有理数的除法转化为有理数的乘法进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣×＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】考查了有理数的除法的知识，解题的关键是能够将0.125转化为分数，难度不大．
15．在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，则a+b＝ ﹣24 ．
【分析】从四个数中取三个数相乘，分别求出它们的积即可得到a、b的值，从而得出答案．
【解答】解：在﹣2，3，4，﹣6这四个数中，取其中三个数相乘，一共有四种情况：
①（﹣2）×3×4＝﹣24，
②（﹣2）×3×（﹣6）＝36，
③（﹣2）×4×（﹣6）＝48，
④3×4×（﹣6）＝﹣72，
∵所得的积最大为a，再取三个数所得的积最小为b，
∴a＝48，b＝﹣72，
∴a+b＝﹣24，
故答案为：﹣24．
【点评】本题考查有理数的乘法，解题的关键是分别求出三个数相乘的积，得到a、b的值．
16．六（8）班参加数学竞赛，女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，比赛结束，获奖人数是参赛人数的，有 6 人获奖．
【分析】先求出男生的参赛人数，再求出参赛的总人数，最后求出获奖人数．
【解答】解：∵女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，
∴男生参赛人数为12÷＝18（人）．
∴参赛的总人数为12+18＝30（人）．
∵获奖人数是参赛人数的，
∴获奖人数为30×＝6（人）．
故答案为6．
【点评】本题主要考查了有理数的除法和有理数的乘法，根据已知条件判断是何种运算是解题的关键．
17．将四个数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样得到的四位数共有 8 个．
【分析】根据若一个数是11的倍数，则奇数数位上的数字之和等于偶数数位上的数字之和，结合题意，组成四位数的数字分别为1，2，3，4，可以写出符合条件的四位数共8个．
【解答】解：∵若一个数是11的倍数，则奇数数位上的数字之和等于偶数数位上的数字之和，
而组成四位数的数字分别为1，2，3，4，
∴符合条件的四位数分别为：1243，4213，1342，4312，2134，2431，3124，3421．
∴符合条件的四位数共有8个．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法的应用．
18．把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A、B两个部分，其中A部分的元素之和等于B部分的元素之积，则A部分的数是 1、2、3、4、5、8、9、10 ，B部分的数是 6、7 ．
【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的乘法法则求解即可．
【解答】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，
所以B部分的元素之积小于55，
而1+2+3+4+5+8+9+10＝6×7＝42，
∴A部分的数是1、2、3、4、5、8、9、10；B部分的数是：6、7．
故答案为：1、2、3、4、5、8、9、10；：6、7．
【点评】本题考查了有理数的加法与乘法，求出B部分的元素之积的范围是解答本题的关键．
19．已知有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，若x＝，则x3的值为 ﹣8 ．
【分析】根据有理数的加法和有理数的乘法运算法则判断出a、b、c中三个数中只有一个负数，然后根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a、b、c中三个数中既有正数又有负数，且b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∵abc＜0，
∴a、b、c中三个数中只有一个负数，
不妨设a＜0，b＞0，c＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，|c|＝c，
∴x＝＝＝1﹣1﹣1﹣1＝﹣2，
∴x3＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查有理数的加法法则，有理数的乘法法则及绝对值的性质；判断出负数的个数是本题的难点．
20．已知有理数a，b满足ab＜0，4a+b﹣3＝|b﹣a|，则a+b的值为 ．
【分析】首先根据有理数a，b满足ab＜0，|a+b|＝﹣a﹣b，可得：a+b＜0，当a＞0，b＜0，当a＜0，b＞0，根据绝对值的意义即可得到结论．
【解答】解：∵有理数a，b满足ab＜0，
∴a，b异号，
当a＞0，b＜0，
∴b﹣a＜0，
∵4a+b﹣3＝|b﹣a|，
∴4a+b﹣3＝a﹣b，
∴3a+2b＝3，
∴a+b＝＝，
当a＜0，b＞0，b﹣a＞0，
∵4a+b﹣3＝|b﹣a|，
∴4a+b﹣3＝b﹣a，
∴a＝＞0（这种情况不存在），
综上所述，a+b的值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
三．解答题（共6小题）
21．计算：．
【分析】原式从左到右依次计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣÷（﹣）×
＝﹣×（﹣）×
＝．
【点评】此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．计算：（﹣0.25）×（﹣25）×（﹣4）．
【分析】根据有理数乘法法则计算即可求解．
【解答】解：原式＝﹣0.25×25×4
＝﹣0.25×100
＝﹣25．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数乘法法则是解题的关键，注意运算律的合理运用．
23．定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【解答】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4+4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2+7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a＝7（a+b），
化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，
∴它们的和＝21+42+63+84＝210．
【点评】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键．
24．求证：+++……+＜1．
【分析】根据分数的性质将1转化为2n个相加，再进行比较即可．
【解答】解：+++……+＜＝1，
∴+++……+＜1．
【点评】本题主要考查倒数的性质和应用，熟练掌握分数的性质是解答本题的关键．
25．已知ab＜0，＞0．b＞|a|＞|c|．
（1）a ＜ 0，b ＞ 0，c ＞ 0；
（2）化简|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|．
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则和有理数除法运算法则，绝对值的非负性可判断a＜0，b＞0，c＞0；
（2）根据有理数加法运算法则和有理数减法运算法则，以及绝对值的性质，去绝对值，然后再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵＞0，
∴b，c同号，
∵b＞|a|＞|c|
∴b＞0，
∴c＞0，a＜0．
故答案为：＜，＞，＞．
（2）由（1）可得，a﹣b＜0，c+b＞0，c+a＜0，
∴|a﹣b|＝﹣a+b，|c+b|＝c+b，|c+a|＝﹣c﹣a．
∴|a﹣b|+|c+b|﹣2|c+a|
＝﹣a+b+c+b﹣2（﹣c﹣a）
＝﹣a+b+c+b+2c+2a
＝a+2b+3c．
【点评】本题考查了有理数的加减、乘除的运算法则及绝对值的化简，解决本题的关键是根据法则和绝对值确定a、b、c的正负．
26．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若ab＝6，则a+b的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ①② ；（填序号）
（2）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，则ab的最大值为 6 ；
【拓展】
（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab＜0，试比较a+b与0的大小．
【分析】（1）a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案；
（2）ab最大，需a、b同号，而a+b＝﹣5知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案；
（3）a、b异号，分类讨论a+b与0的大小．
【解答】解：（1）∵ab＝6，
∴a、b同号，
∴a、b同为正数时，a+b＞0；
a、b同为负数时，a+b＜0；
故答案为：①②；
（2）∵a+b＝﹣5，ab最大，
∴a、b同号，
∵a+b＝﹣5，
∴a、b同为负数，
∵a、b为整数，
∴a、b分别为﹣1和﹣5，此时ab＝5，；或a、b分别为﹣2和﹣3，此时ab＝6，
故答案为：6；
（3）∵ab＜0，
∴a、b异号，
设a＞0，则b＜0，
若|a|＞|b|，则a+b＞0，
若|a|＝|b|，则a+b＝0，
若|a|＜|b|，则a+b＜0．
【点评】本题考查有理数加法、乘法的符号法则，解题的关键是分类讨论．