第一章特殊平行四边性1.1.2菱形的判定 2021——2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

1.1.2菱形的判定
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　）
A．∠AOB＝60°
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AB＝CD
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC＝BD
D．AB∥CD，AD＝BC
4．如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
5．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AD＝BC
第3题
第4题
第5题
6．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．BE平分∠ABC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．AB＝AC
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．（　　）
A．
B．
C．
D．3
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：
①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
第6题
第7题
第8题
二．填空题（共4小题）
9．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　
　．
10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有　
　．（只填写序号）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为　
　时，四边形QPCP′为菱形．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，BE为∠ABC的角平分线交AC于E，交AD于F，FG∥BD，交AC于G，过E作EH⊥CD于H，连接FH，下列结论：①四边形CHFG是平行四边形；②AE＝CG；③FE＝FD；④四边形AFHE是菱形，其中正确的结论是　
　．
三．解答题（共11小题）
13．如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．
14．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
15．如图，在?ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足什么位置关系时，四边形AECF是菱形？请证明．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
18．如图，已知△ABC中，点D、M分别是边BC、AC的中点，过点A作AE∥BC交线段DM的延长线于点E，联结AD、CE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形．
19．平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与x轴、y轴分别交于点B，C，且a，b满足：a＝++3．不论k为何值，直线l：y＝kx﹣2k都经过x轴上一定点A．
（1）a＝　
　，b＝　
　；点A的坐标为　
　；
（2）如图，当k＝1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B，C对应的点M，N恰好分别在直线l和直线y＝2x﹣4上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由．
20．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且AB∥PQ，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
23．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．问当OA与BC应满足怎样的数量关系时，四边形DGFE是菱形，并证明之．
1.1.2菱形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解答】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（　　）
A．∠AOB＝60°
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
A、∵∠AOB＝60°，
∴不能得出四边形ABCD是菱形；选项A不符合题意；
B、∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故选项B符合题意；
C、∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AB＝CD
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC＝BD
D．AB∥CD，AD＝BC
【解答】A、当AB＝CD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项C不符合题意；
D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD不是平行四边形；故选项D不符合题意．
故选：B．
4．如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
5．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AD＝BC
【解答】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．BE平分∠ABC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．AB＝AC
【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形DBFE是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．（　　）
A．
B．
C．
D．3
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵S△ACB＝AB?OC＝AC?BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故选：A．
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：
①BE⊥AC；
②EG＝GF；
③△EFG≌△GBE；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E
是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确；
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，
故②错误；
∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）
故③正确；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，
故④正确，
若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合
故⑤错误，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　（5，4）或（4，4）　．
【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，4），B（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝8﹣m，
在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，
∴D（5，4）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB＝＝4，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，
∴D（4，4），
综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．
故答案为（5，4）或（4，4）．
10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有　①③　．（只填写序号）
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为　　时，四边形QPCP′为菱形．
【解答】解：如图，连接PP′交CQ于D，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥CQ，CD＝DQ，
∵点Q的速度是每秒1cm，
∴CD＝CQ＝（8﹣t）cm，
过点P作PO⊥AC于O，
则四边形CDPO是矩形，
∴CD＝PO，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴PO＝AP，
∵点P的运动速度是每秒cm，
∴PO＝×t＝tcm，
∴（8﹣t）＝t，
解得t＝．
故答案为：．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，BE为∠ABC的角平分线交AC于E，交AD于F，FG∥BD，交AC于G，过E作EH⊥CD于H，连接FH，下列结论：①四边形CHFG是平行四边形；②AE＝CG；③FE＝FD；④四边形AFHE是菱形，其中正确的结论是　①②④　．
【解答】解：∵∠FBD＝∠ABF，∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABF+∠AEB＝90°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE，
∵BE是∠ABC的角平分线，EH⊥BC，
∴AE＝EH，
∴AF＝EH，
又∵EH∥AD，
∴四边形AEHF是平行四边形，
结合AE＝EH可得四边形AEHF是菱形，
∴④对；
∴FH∥AC，∴四边形CHFG是平行四边形，①对；
∴CG＝FH＝AE，②对；
③中EF与FD并不存在相等，
故答案为：①②④．
三．解答题（共11小题）
13．如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．
（1）求证：∠BOD＝∠C；
（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．
【解答】证明：（1）延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），
即∠BOD＝2∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法二，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
14．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
15．如图，在?ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即
OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF；
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足什么位置关系时，四边形AECF是菱形？请证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点．
∴AF＝DF＝AD，BE＝CE＝BC，
∴AF＝CE且AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：当AB⊥AC时，四边形
AECF是菱形，证明如下：
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形．
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB；
（2）∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴?ADCF是菱形．
18．如图，已知△ABC中，点D、M分别是边BC、AC的中点，过点A作AE∥BC交线段DM的延长线于点E，联结AD、CE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形．
【解答】证明：（1）∵点D，M分别是边BC，AC的中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AB，
∵AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形．
19．平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与x轴、y轴分别交于点B，C，且a，b满足：a＝++3．不论k为何值，直线l：y＝kx﹣2k都经过x轴上一定点A．
（1）a＝　3　，b＝　6　；点A的坐标为　（2，0）　；
（2）如图，当k＝1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B，C对应的点M，N恰好分别在直线l和直线y＝2x﹣4上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴b＝6，a＝3，
∵y＝kx﹣2k都经过x轴上一定点A（2，0），
故答案为：3，6，（2，0）；
（2）如图，作NP⊥y轴于点P，
∵y＝3x+6与x轴交于点B，
∴点B坐标为（﹣2，0），
∵y＝3x+6与y轴交于点C，
∴点C坐标为（0，6），
当k＝1时，y＝kx﹣2k＝x﹣2，
根据平移的性质，可得
四边形BMNC是平行四边形，
设点M坐标是（m，m﹣2），
则点N坐标是（m+2，m+4），
∵点N在直线y＝2x﹣4上，
∴m+4＝2（m+2）﹣4，
解得m＝4，
∴m+2＝4+2＝6，m+4＝4+4＝8，
∴点N的坐标是（6，8），
∵NC＝＝2，BC＝＝2，
∴NC＝BC，
又∵四边形BMNC是平行四边形，
∴四边形BMNC是菱形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且AB∥PQ，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠BCQ，
∵AB∥PQ，
∴CD∥PQ，
∴四边形CDPQ是平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴△APD≌△BQC（SAS）．
（2）证明：由（1）得：四边形CQPD是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD＝∠BQC，
∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴四边形ABQP是菱形．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：
∵OC＝OE，
∴CF＝EF，
∵OF⊥CE，CE⊥CD，
∴OF∥CD，
∵AB∥DC，
∴OF∥AB，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
22．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC＝AP，
由（1）可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
23．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．问当OA与BC应满足怎样的数量关系时，四边形DGFE是菱形，并证明之．
【解答】解：当OA＝BC时，四边形DEFG是菱形．
理由：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
同理，GF∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG，DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
连接OA，在△AOC中，E、F分别为AC、OC中点，
∴EF＝OA，同理在△BOC中，GF＝BC，
∵OA＝BC，
∴EF＝GF，
∴OA＝BC时，四边形DEFG是菱形．
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