13.3.2　等边三角形的性质与判定 提优课时训练 2021—2022学年人教版数学八年级上册（word版含答案）

13.3.2　第1课时　等边三角形的性质与判定
命题点
1　等边三角形的性质
1.三个等边三角形的摆放位置如图,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为
(　　)
A.90°
B.120°
C.270°
D.360°
2.如图,等边三角形ABC的顶点A,B均在网格图的格点上,则∠α的度数为(　　)
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
3.如图,将边长是15
cm的正三角形纸板剪去三个小正三角形后,得到一个正六边形,则剪去的小正三角形的边长是
(　　)
A.3
cm
B.4
cm
C.5
cm
D.6
cm
4.如图,△ABC是等边三角形,BC=BD,∠BAD=20°,则∠BCD的度数为　　　　.?
5.如图,在等边三角形ABC中,D是BC上一点,以AD为边作等腰三角形ADE,使AD=AE,∠DAE=80°,DE交AC于点F,∠BAD=15°,求∠FDC的度数.
命题点
2　等边三角形的判定
6.已知:在△ABC中,∠A=60°,若要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.有下面三种说法:
①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果添加条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;
③如果添加条件“边AB,BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.
其中正确的有
(　　)
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
7.如图,在△ABC中,∠A=60°,分别以点A,B为圆心,大于AB长的一半为半径画弧交于两点,过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则△ABD是　　　　三角形.?
8.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上,MC=NC.求证:△AMN是等边三角形.
命题点
3　等边三角形的性质与判定
9.如图,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是
(　　)
A.8+2a
　　　
B.8+a
C.6+a
　　　
D.6+2a
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,则∠ADE的度数为
(　　)
A.20°
　　　
B.30°
C.40°
　　　
D.60°
11.如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12
cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度为1
cm/s,点N的速度为2
cm/s.当点M第一次到达点C时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动多长时间后,M,N两点恰好重合?
(2)点M,N运动多长时间后,△AMN是等边三角形?
12.如图所示,某轮船上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向,该船以每小时10海里的速度向东航行到C处,再观测海岛B在北偏东30°方向,又以同样的速度继续向东航行到D处,再观测海岛B在北偏西30°方向,当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里,请你确定轮船到达C处和D处的时间.
13.在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图①,当E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).?
(2)【特例启发,解答题目】
如图②,当E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).?
理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成剩下的解答过程).
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在AB边的延长线上,点D在CB边的延长线上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请画出相应图形).
典题讲评与答案详析
1.B　[解析]
∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,∴∠ABC=60°,∠ACB=120°-∠2,
∠BAC=120°-∠1.∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴60°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°.∴∠1+∠2=120°.
2.A　[解析]
如图所示,∠BAE=∠ABE=45°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∴∠EBF=∠ABC-∠ABE=15°.
∴∠α=∠EBF=15°.
3.C　[解析]
∵剪去三个小正三角形,得到正六边形,∴正六边形的边长等于小正三角形的边长.∵被剪的正三角形的边长为15
cm,∴剪去的小正三角形的边长为=5(cm).
4.50°　[解析]
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=BC.
∵BC=BD,∴AB=BD.
∴∠BAD=∠BDA=20°.
∴∠ABD=180°-20°-20°=140°.
∴∠CBD=80°.
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=×(180°-80°)=50°.
故∠BCD的度数为50°.
5.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵∠DAE=80°,AD=AE,
∴∠ADE=×(180°-80°)=50°.
∵∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°,
∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=75°-50°=25°.
6.A
7.等边　[解析]
由基本作图可知所作直线为线段AB的垂直平分线,所以AD=BD,即△ABD是等腰三角形.又因为∠A=60°,所以△ABD是等边三角形.
8.证明:如图,连接AC.∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴BC=DC.
在Rt△MBC与Rt△NDC中,
∴Rt△MBC≌Rt△NDC(HL).∴BM=DN.
∵AB=AD,∴AM=AN.
又∵∠BAD=60°,∴△AMN是等边三角形.
9.D　[解析]
∵在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,∴△MNP是等边三角形.∴∠PNM=∠PMN=60°.
∵△MNP的周长为12,∴MP=PN=MN=4.
又∵MQ⊥PN,垂足为Q,∴NQ=NG=PN=2,∠QMN=∠PMN=30°.
∵NG=NQ,∴∠G=∠NQG.∵∠PNM=∠G+∠NQG=60°,∴∠G=30°=∠QMN.
∴QG=MQ=a.∴△MGQ的周长是6+2a.
10.B　[解析]
如图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点N.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC.
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM为等边三角形.
∴∠DMN=60°.
∴∠ADE=∠NDM=90°-60°=30°.
11.解:(1)设点M,N运动x
s后,M,N两点恰好重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12.
∴点M,N运动12
s后,M,N两点恰好重合.
(2)设点M,N运动t
s后,△AMN是等边三角形,如图.由题意,得AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm.∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4.
∴点M,N运动4
s后,△AMN是等边三角形.
12.解:∵在A处观测海岛B在北偏东60°方向,
∴∠BAC=30°.
∵从C处观测海岛B在北偏东30°方向,∴∠BCD=60°.
∵∠BCD=∠BAC+∠CBA,
∴∠CBA=30°=∠BAC.∴AC=BC.
∵从D处观测海岛B在北偏西30°方向,∴∠BDC=60°.
又∵∠BCD=60°,∴∠CBD=60°.
∴△BCD为等边三角形.∴BC=CD.
∵BC=20海里,∴BC=AC=CD=20海里.
∵该船以每小时10海里的速度从A处航行到C处,又以同样的速度继续航行到D处,
∴该船从A处到达C处所用的时间为20÷10=2(时),从C处到达D处所用的时间为20÷10=2(时).
∵该船上午11时30分从A处出发,
∴该船到达C处的时间为11时30分+2时=13时30分,到达D处的时间为13时30分+2时=15时30分.
13.解:(1)=
(2)=
理由:过点E作EF∥BC,交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECD.
∴△AEF为等边三角形,∠DBE=∠EFC=120°.∴AE=EF.
∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.
∴∠BDE=∠FEC.
∴△DBE≌△EFC.
∴DB=EF.∴AE=DB.
(3)如图,过点E作EF∥BC交AC的延长线于点F.∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=1,∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠DCE=∠CEF.
∴△AEF为等边三角形.∴EF=AE=2.
∵ED=EC,∴∠DCE=∠CDE.
∴∠CEF=∠CDE.
又∵∠DBE=∠ABC=60°=∠F,
∴△DBE≌△EFC.
∴DB=EF=2.∴CD=BC+DB=3.