13.3.2第2课时含30 °角的直角三角形的性质 提优课时训练 2021—2022学年人教版数学八年级上册（Word版含答案）

第2课时　含30
°角的直角三角形的性质
命题点
　含30
°角的直角三角形的性质
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12
cm,则AB的长为
(　　)
A.6
cm
B.7
cm
C.8
cm
D.9
cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,P是BC边上的动点,则AP的长不可能是
(　　)
A.3
B.4.2
C.5
D.6.1
3.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,CD⊥AB,垂足为D,则AD︰BD的值为(　　)
A.2︰1
B.3︰1
C.4︰1
D.5︰1
4.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为
(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
5.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D.若PC=6,则PD的长为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=6,点E在AB边上,D是BC边上一点(不与点B,C重合),且AE=ED,则线段AE的最小值是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
7.如图,在△ABC中,∠C=60°,AD是BC边上的高,E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F.若∠AFB=90°,EF=2,则BF的长为
(　　)
A.4
B.6
C.8
D.10
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D.若CD=3,则BD的长为　　　　.?
9.顶角为30°的等腰三角形,若腰长为2,则腰上的高为　　　　.?
10.如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为　　　　.?
11.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,且AD交BC于点D,AD=4
cm,求BC的长.
12.某市在“旧城改造”中,计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境.已知某种草皮每平方米售价为80元,求用这种草皮铺满空地至少需多少元.
13.如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长.
14.如图,一架直升机上午8时从A地出发,以200千米/时的速度向正北方向飞行,9时到达B处.据机场导航站传来的信息,在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80千米能见度低,飞机飞行将会遇到危险.经测量,∠NAC=15°,∠NBC=30°.则该直升机继续向正北方向飞行有无危险?
15.问题探究:如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系,某学习小组成员已经添加了辅助线.
(1)请叙述辅助线的添加方法,并完成探究过程.
(2)探究应用:如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB上,以AD为边作等边三角形ADE,连接BE,为探究线段BE与DE之间的数量关系,组长佳佳已经添加了辅助线:取AB的中点F,连接EF.则线段BE与DE之间的数量关系是　　　　　　　　,说明理由.?
典题讲评与答案详析
1.C
2.D　[解析]
∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,∴AB=2AC=6,即AP的取值范围是3≤
AP≤6.
3.B　[解析]
∵在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,CD⊥AB,
∴2BD=BC,2BC=AB.
∴AB=4BD.
∴AD︰BD=3︰1.故选B.
4.C　[解析]
过点P作PC⊥MN于点C.
∵∠AOB=60°,∴∠OPC=30°.∴CO=OP=6.
∵PM=PN,
∴CM=CN=MN=1.∴OM=CO-CM=5.
5.B　[解析]
如图,过点P作PE⊥OB于点E.∵PC∥OA,∴∠PCE=∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°.
又∵PC=6,∴PE=PC=3.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE=3.
6.B　[解析]
当ED⊥BC时,ED最短,则AE最短,此时∠EDB=90°,∠B=30°,所以BE=2ED=2AE.所以2AE+AE=AB=6.所以AE=2.
7.D　[解析]
∵在△ABC中,∠C=60°,AD是BC边上的高,
∴∠DAC=180°-∠C-∠ADC=180°-60°-90°=30°.
∵∠AFB=90°,EF=2,
∴AE=2EF=4.
∵E为AD的中点,∴DE=AE=4.
∵∠C=60°,∠BFC=180°-90°=90°,
∴∠EBD=30°.
∴BE=2DE=8.
∴BF=BE+EF=8+2=10.故选D.
8.6　[解析]
如图,连接AD.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.∴∠DAE=∠B=30°.
∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,∴∠CAD=30°.
∴BD=AD=2CD=6.
9.1
10.　[解析]
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2.
∵DF⊥AC,FE⊥BC,
∴∠AFD=∠CEF=90°.
∴∠ADF=∠CFE=30°.
∴AF=AD,CE=CF.
∵D是AB的中点,
∴AD=1.
∴AF=.∴CF=.∴CE=.
∴BE=BC-CE=2-=.
11.解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°.
∵AB⊥AD,∴BD=2AD=8
cm.
∵∠B+∠ADB=90°,
∴∠ADB=60°.
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°,∠C=30°,
∴∠DAC=30°.
∴∠DAC=∠C.
∴DC=AD=4
cm.
∴BC=BD+DC=8+4=12(cm).
12.解:如图,作BA边上的高CD,垂足D落在BA的延长线上.
∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°.
∵CD⊥BD,AC=60
m,∴CD=30
m.
∵AB=40
m,∴S△ABC=AB·CD=×40×30=600(m2).
∵每平方米草皮售价为80元,
∴购买这种草皮至少所需的费用为600×80=48000(元).
答:用这种草皮铺满空地至少需48000元.
13.解:延长AD,BC交于点E.
∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠E=60°.
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=60°.
∴△EDC是等边三角形.
设CD=CE=DE=x.
∵∠A=30°,∴AE=2BE.
∵AD=4,BC=1,∴2(1+x)=x+4,
解得x=2.∴CD=2.
14.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠NBC=30°,∴CD=BC.
∵∠NAC=15°,
∴∠ACB=15°.
∴AB=BC=200×(9-8)=200(千米).
∴CD=×200=100(千米)>80千米.
∴该直升机继续向正北方向飞行没有危险.
15.解:(1)添加方法:作BC的垂直平分线分别与AB,BC交于点P,D,连接PC.
∵PD垂直平分BC,
∴PC=PB.
∴∠PCB=∠ABC=30°.
又∵∠ACB=90°,∴∠A=60°,∠ACP=60°.
∴∠APC=60°.
∴△ACP是等边三角形.∴AC=AP=PC.∴AC=AP=PB=AB,即AC=AB.
(2)BE=DE
理由:如图.∵F是AB的中点,
∴AF=AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=AB,∠CAB=60°.∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠DAE=60°.
∴∠CAB=∠DAE.
∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3,即∠1=∠2.
在△ACD和△AFE中,
∴△ACD≌△AFE(SAS).
∴∠C=∠AFE=90°.
∴EF⊥AB.
又∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线.
∴AE=BE.∴BE=DE.