_1.1.3菱形的判定与性质同步练习 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

1.1.3菱形的判定与性质
一．选择题（共10小题）
1．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP＝DQ
B．∠ABD＝∠ADB
C．AB∥CD
D．∠ABP＝∠BAP
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24
B．28
C．32
D．36
3．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　）
A．AD⊥BC
B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD
D．AD平分∠BAC
第2题
第3题
第4题
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10
B．12
C．16
D．18
6．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（　　）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（　　）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
A．①③④
B．①④
C．①②③
D．②③④
第5题
第6题
第7题
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
9．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①OG＝AB；
②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S△ABF；其中正确的是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
10．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（　　）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
第8题
第9题
第10题
二．填空题（共6小题）
11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　
　．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为　
　，面积为　
　．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　
　度．
第11题
第12题
第13题
14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为　
　．
15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　
　．
16．如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是　
　（将正确结论的序号填空）．
第14题
第15题
第16题
三．解答题（共11小题）
17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件
　
　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）证明四边形BEDF是菱形．
19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）求证：AE⊥DE．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
23．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．
26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
1.1.3菱形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP＝DQ
B．∠ABD＝∠ADB
C．AB∥CD
D．∠ABP＝∠BAP
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AP＝PC＝CQ＝AQ，AQ∥PC，AC⊥BD，
∴∠AQP＝∠CPQ，
∴∠AQD＝∠BPC，
∵AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠CBP，
在△ADQ和△CBP中，
，
∴△ADQ≌△CBP（AAS），
∴AD＝BC，BP＝DQ，故选项A不合题意；
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，故选项C不合题意；
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，故选项B不合题意；
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24
B．28
C．32
D．36
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝8，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32．
故选：C．
3．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°
∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　）
A．AD⊥BC
B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD
D．AD平分∠BAC
【解答】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，
理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故选：D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10
B．12
C．16
D．18
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，
∴OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16；
故选：C．
6．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（　　）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【解答】解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B＝180°，
∵△AMN是等边三角形，AM＝AB，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，
∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，
由三角形的内角和定理得：∠BAM＝∠NAD，
设∠BAM＝∠NAD＝x，
则∠D＝∠AND＝180°﹣60°﹣2x，
∵∠NAD+∠D+∠AND＝180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°．
故选：A．
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（　　）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
A．①③④
B．①④
C．①②③
D．②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【解答】解：∵∠BAC＝30°，△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAF＝90°，
∴DF＞AD，
∴四边形ADFE不可能是菱形．故①错误．
连接BF．
∵△ABC是直角三角形，AF＝CF，
∴FA＝FB，∵DA＝DB，
∴DF垂直平分线段AB，故②正确，
∵AE⊥AB，DF⊥AB，
∴AE∥DF，
∵AE＝2AF，DF＝2AF，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴OA＝OF，
∴AE＝AC＝4OA，故③正确，
在Rt△AFG中，∠FAG＝30°，
∴AF＝2FG，
∵EC＝AC＝2AF，
∴EC＝4FG，故④正确，
故选：D．
9．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①OG＝AB；
②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S△ABF；其中正确的是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，①正确；
∵△ABG≌△DEG，
∴AB＝DE，
∵AB∥CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，
∴四边形ABDE是菱形，②正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG＝AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；③正确；
正确的是①②③．
故选：D．
10．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（　　）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，
∵AD＝AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，
∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，
∵P是CD的中点，
∴NP＝CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　30°　．
【解答】解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为　20　，面积为　24　．
【解答】解：∵AC与BD互相垂直且平分，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵BD＝6，AC＝8，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，
∴AB＝＝5，
∴四边形周长为：20，面积为：×6×8＝24．
故答案为：20，24．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　90　度．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故答案为：90．
14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为　2　．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC、BD交点为O．
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．
∴OB＝＝＝．
∴BD＝2．
故答案为：2．
15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　7.8　．
【解答】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，
∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD于点O，
∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，
∴CD＝AD＝5，
连接PD，如图所示：
∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，
∴AD?PM+DC?PN＝AC?OD，
即×5×PM+×5×PN＝×8×3，
∴5×（PM+PN）＝8×3，
∴PM+PN＝4.8，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，
故答案为：7.8．
16．如图直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E、交BC于点F，EG∥AB交CB于点G，FH⊥AB于H，以下4个结论：①∠ACD＝∠B；②△CEF是等边三角形；③CD＝FH+DE；④BG＝CE中正确的是　①③④　（将正确结论的序号填空）．
【解答】解：如图，连接EH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠B+∠4＝90°，
∴∠3＝∠B，故①正确；
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠AFC＝90°，∠2+∠AED＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形，故②错误；
∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在Rt△CAF和Rt△HAF中，
，
∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL），
∴AC＝AH，
在△CAE和△HAE中，
，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠3＝∠AHE，CE＝EH，
∵∠3＝∠B，
∴∠AHE＝∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEFH是平行四边形，
∴CE＝FH，
∴CD＝CE+DE＝FH+DE，故③正确；
∵EG∥AB，EH∥BC，
∴四边形EHBG是平行四边形，
∴EH＝BG，
∵CE＝EH，
∴BG＝CE．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题（共11小题）
17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件
　②　后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，且DE＝＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）证明：选②AE平分∠BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC，
∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
18．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）证明四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
19．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）求证：AE⊥DE．
【解答】证明：（1）设AC，EF的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AE＝AF＝CE＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AB⊥AC，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE＝CE，
∵BC＝2AB，
∴AB＝AE＝BE，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，
∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
∴AE⊥DE．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若点E是BC的中点，求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，且BE＝DF，∠B＝∠D，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°．
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF＝DE＝2，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，
∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，
∴DH＝DF＝1，FH＝DH，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴DH＝CH＝1，
∴FC＝FH+CH＝+1．
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC
∴CD＝AB，且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2
∵AO＝＝＝4
∵CE⊥AB，AO＝CO
∴EO＝AO＝CO＝4
23．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求PD．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
∵∠ABF＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
同理AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，
∵AB＝4，
∴AP＝2，
如图，过点P作PM⊥AD于M，
∴PM＝，AM＝1，
∵AD＝6，
∴DM＝5，
∴PD＝＝＝2．
24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD．
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC．
∴∠DAC＝∠DCA．
∴AD＝DC．
又∵AB∥CD，AB＝AD．
∴AB∥CD且AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24．
∴CD＝13，AO＝CO＝12．
∵点E、F分别是边CD、BC的中点．
∴EF∥BD（中位线）．
∵AC、BD是菱形的对角线．
∴AC⊥BD，OB＝OD．
又∵AB∥CD，EF∥BD．
∴DE∥BG，BD∥EG．
∴四边形BDEG是平行四边形．
∴BD＝EG．
在△COD中．
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12．
∴．
∴EG＝BD＝10．
26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BC?AM＝AC?BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．
（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；
（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝30°，
∴CE＝AE，
过点E用EH垂直于AC于点H，
∴CH＝AH
∵AC＝6，
∴CE＝2
答：CE的长为2；
（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，
AF＝AF，CF＝GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG，
∴四边形CEGF是菱形