云南省镇雄县第四高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 PDF版含答案解析
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| 名称 | 云南省镇雄县第四高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 PDF版含答案解析 |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 501.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-06 11:45:24 | ||
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文档简介
??→ ??→ ?? →
秘 密 ★ 启 用 前 ６． 如 图 １，已 知 点 Ｍ是 △ ＡＢＣ的 边 ＢＣ的 中 点 ，点 Ｅ在 边 ＡＣ上 ，且 ＥＣ＝２ＡＥ，则 向 量 ＥＭ＝
１ ??→ １ ??→ １ ??→ １ ??→
Ａ． ＡＣ＋ ＡＢ Ｂ． ＡＣ＋ ＡＢ
镇 雄 四 中 高 一 年 级 春 季 学 期 期 末 考 试 ２ ３ ６ ２
数 学 １ ??→ １ ??→ １ ??→ ２ ??→
Ｃ． ＡＣ＋ ＡＢ Ｄ． ＡＣ＋ ＡＢ
２ ６ ６ ３
图 １
本 试 卷 分 第 Ⅰ卷 （选 择 题 ）和 第 Ⅱ卷 （非 选 择 题 ）两 部 分 ． 第 Ⅰ卷 第 １页 至 第 ２页 ，第 Ⅱ卷 第 ３ 页 至 第 ４ π ３ π
７． ０ ｃｏｓ ＝
页 ． 已 知 α∈ ， ， α ，则 ｓｉｎ α－ ＝
考 试 结 束 后 ，请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 ． 满 分 １５０分 ，考 试 用 时 １２０分 钟 ． ( ２ ) ５ ( ３ )
４－３ ３ ３ ３－４ ４ ３－３ ４＋３ ３
第 Ⅰ卷 （选 择 题 ，共 ６０分 ） Ａ． 槡 Ｂ． 槡 Ｃ． 槡 Ｄ． 槡
１０ １０ １０ １０
注 意 事 项 ：
１． ＝ ＝ ＝ ＝
答 题 前 ，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名 、准 考 证 号 、考 场 号 、座 位 号 在 答 题 卡 上 填 写 清 楚 ． ８． 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所 对 的 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ． 若 ｂ ３，ｃ ３ ３ Ｂ ３０° ａ
槡 ， ，则
２． 每 小 题 选 出 答 案 后 ，用 ２Ｂ铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ． 如 需 改 动 ，用 橡 皮 擦 干 净 后 ，再 Ａ． ６ Ｂ． ３ Ｃ． ６或 ３ Ｄ． ６或 ４
选 涂 其 他 答 案 标 号 ． 在 试 题 卷 上 作 答 无 效 ． Ｓ
９． ５Ｇ技 术 的 数 学 原 理 之 一 便 是 著 名 的 香 农 公 式 ：Ｃ＝Ｗｌｏｇ２ １＋
( Ｎ ，它 表 示 ：在 受 高 斯 白 噪 声 干 扰 的 信 道 中 ，
)
一 、选 择 题 （本 大 题 共 １２小 题 ，每 小 题 ５分 ，共 ６０分 ． 在 每 小 题 所 给 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）
３
５ｉ 最 大 信 息 传 递 速 率 Ｃ取 决 于 信 道 带 宽 Ｗ、信 道 内 所 传 信 号 的 平 均 功 率 Ｓ、信 道 内 部 的 高 斯 噪 声 功 率 Ｎ 的 大
１． 若 复 数 ｚ＝ ｉ
２＋ｉ（为 虚 数 单 位 ），则 ｚ ＝ Ｓ Ｓ
小 ，其 中 ．
Ｎ叫 做 信 噪 比 按 照 香 农 公 式 ，在 不 改 变 Ｗ的 情 况 下 ，将 信 噪 比 １９９９ λ Ｃ
Ｎ从 提 升 至 ，使 得 大 约
５ ５
Ａ． 槡 Ｂ． ５
３ 槡 ３?９６
增 加 了 ２０％，则 λ的 值 约 为 （参 考 数 据 ：ｌｇ２≈ ０?３，１０ ≈ ９１２０）
Ｃ． ５ Ｄ． ５ ５ Ａ． ７５９６ Ｂ． ９１１９ Ｃ． １１５８４ Ｄ． １４４６９
槡
２
２． 集 合 Ａ＝｛ｙ ｙ＝ｘ ，ｘ∈ Ｒ｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）ｙ＝ｘ＋２，ｘ∈ Ｒ π
｝，则 Ａ∩ Ｂ等 于 １０． 已 知 角 θ的 终 边 过 点 （－２，１），则 ｔａｎ ２θ－
( ４ 的 值 为
)
Ａ． ｛（－１，１），（２，４）｝ Ｂ． ｛（－１，１）｝ ４
Ａ． －７ Ｂ．
Ｃ． ｛（２，４）｝ Ｄ． ? ３
３． ４
下 列 向 量 中 不 是 单 位 向 量 的 是 Ｃ． － Ｄ． ７
３
Ａ． （１，０） Ｂ． （１，１） ??→ ??→ ??→
１１． 如 图 ２，在 △ ＡＢＣ中 ，ＡＤ＝２ＤＢ，ＡＥ＝３ＥＣ，ＣＤ与 ＢＥ交 于 Ｆ，ＡＦ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣ，则 （ｘ，ｙ）为
→ａ →
Ｃ． （ｃｏｓα，ｓｉｎα） Ｄ． → （ａ ≠ ０） １ １ １ １
ａ Ａ． ３ ， Ｂ． －
( ２ ) ( ３ ，２ )
→ → → →
４． 若 向 量 ａ＝（２，３），ｂ＝（－１，２），则 ａ·ｂ＝ １ １ １ １
Ｃ． － ， Ｄ． ，
Ａ． －４ Ｂ． －２ ( ２ ３ ) ( ２ ３ )
图 ２
Ｃ． ２ Ｄ． ４ １２． 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ的 对 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，ｂｓｉｎＡ＝ａｃｏｓＢ，ｂ＝２，ｃ＝ ６ Ｃ
槡 ，则 角 为
４
５． 函 数 ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３ｘ－ ｘ 的 零 点 所 在 的 区 间 是 ２π ５π
Ａ． Ｂ．
３ ６
Ａ． （０，１） Ｂ． （１，２） π ２π π ５π
Ｃ． Ｄ．
Ｃ． （２，３） Ｄ． 或 或
（３，４） ３ ３ ６ ６
数 学 ＺＸ４·第 １页 （共 ４页 ） 数 学 ＺＸ４·第 ２页 （共 ４页 ）
书书书
第 Ⅱ卷 （非 选 择 题 ，共 ９０分 ） １９． （本 小 题 满 分 １２分 ）
２ π
注 意 事 项 ： 已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ａｃｏｓ ｘ（ａ∈ Ｒ，ａ为 常 数 ），且 ｙ＝ｆ ｘ
４ 是 函 数 （）的 零 点 ．
第 Ⅱ卷 用 黑 色 碳 素 笔 在 答 题 卡 上 各 题 的 答 题 区 域 内 作 答 ，在 试 题 卷 上 作 答 无 效 ． （Ⅰ）求 ａ的 值 ，并 求 函 数 ｆ（ｘ）的 最 小 正 周 期 ；
π
（Ⅱ）若 ｘ∈ ０，
[ ２ ，求 函 数 ｆ（ｘ）的 值 域 ．
]
二 、填 空 题 （本 大 题 共 ４小 题 ，每 小 题 ５分 ，共 ２０分 ）
１ １
１３． 已 知 正 实 数 ａ，ｂ满 足 ａ＋ｂ＝１，则 ｂ＋ ．
ａ( ｂ 的 最 小 值 是
)
ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞０， １
１４． 已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝
ｘ 则 ｆ ｆ ＝ ．
４
{２ ，ｘ≤ ０ ( ( ))
， ２０． （本 小 题 满 分 １２分 ）
１５． 《九 章 算 术 》是 中 国 古 代 的 数 学 名 著 ，其 中 《方 田 》一 章 给 出 了 弧 田 面 积 的 π ｂ＋ｃ
) 已 知 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所 对 的 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，ｓｉｎ Ｃ＋ ＝ ．
( ６ ) ２ａ
计 算 方 法 ． 如 图 ３所 示 ，弧 田 是 由 圆 弧 ＡＢ和 其 对 弦 ＡＢ 围 成 的 图 形 ，若 弧 田 （Ⅰ）求 Ａ；
所 在 圆 的 半 径 为 ６，弦 ＡＢ的 长 是 ６ ３
槡 ，则 弧 田 的 弧 长 为 ；弧 田 ３ ３
的 面 积 是 ． 槡
（注 ：其 中 第 一 空 ２分 ，第 二 空 ３分 ） 图 ３ （Ⅱ）若 ａ＝ ７ ＡＢＣ ｂ ｃ．
槡 ，△ 的 面 积 为 ２ ，求 ，
π
１６． 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所 对 的 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，若 满 足 Ａ＝ ｂ＝３ △ ＡＢＣ ａ
４ ， 的 有 且 仅 有 一 个 ，则 边
的 取 值 范 围 是 ．
三 、解 答 题 （共 ７０分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ，证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ） ２１． （本 小 题 满 分 １２分 ）
１７． （本 小 题 满 分 １０分 ） ａ
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋１（其 中 ａ为 实 数 ）为 奇 函 数 ．
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）－ｌｏｇ２（１－ｘ）． ｅ ＋１
（Ⅰ）若 ｆ（ｘ）＝ ２，求 ｘ的 值 ； （Ⅰ）判 断 ｆ（ｘ）的 单 调 性 并 证 明 ；
２
（Ⅱ）判 断 ｆ（ｘ）的 奇 偶 性 并 予 以 证 明 ． （Ⅱ）解 不 等 式 ｆ（１－ｘ）＋ｆ（－ｘ ＋２）＞０．
１８． ２２． １２
（本 小 题 满 分 １２分 ） （本 小 题 满 分 分 ）
２
在 △ ＡＢＣ中 ，点 Ａ（２，１），Ｂ（１，３），Ｃ（５，５）． ｘ －２
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ ．
ｘ
（Ⅰ）若 四 边 形 ＡＢＣＤ为 平 行 四 边 形 ，求 Ｄ点 坐 标 ； Ⅰ ｆ ｘ ０ ＋∞
??→ （ ）判 断 （）在 （， ）上 的 单 调 性 ，并 用 定 义 法 证 明 ；
（Ⅱ）若 Ｄ在 线 段 ＢＣ上 ，且 Ｓ△ ＡＢＤ＝２Ｓ△ ＡＣＤ，求 ＡＤ ． １ １
（Ⅱ）已 知 ｆ（ｘ）在 ［１，２］上 的 最 大 值 为 ｍ，若 正 实 数 ａ，ｂ满 足 ａｂ＝ｍ，求 ＋ ．
ａ ｂ 的 最 小 值
数 学 ＺＸ４·第 ３页 （共 ４页 ） 数 学 ＺＸ４·第 ４页 （共 ４页 ）
镇雄四中高一年级春季学期期末考试
数学参考答案
第 Ⅰ 卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D D B A C B D A C
【解析】
3 3
5i |5i| 5 5
1．由 z? ，则 || 5z ???? ，故选 B．
2i? |2i|? 22
21? 5
2
2．因为 Ayyxx???{| }， R ，集合 A 中的元素是数，集合 Bxyyxx{( )| 2 }，，，集???R
合 B中的元素是点，所以 AB? ??，故选 D．
? ?
22 ?
22
3． A． ||1a ? ， 是单位向量； B． ||1121a ???? ， 不是单位向量； C． ||cossina ???? ?
?? ?
aa|| a ?
????1，则 ? (||0)a ? 是单位向量，故选 B．
||||aa ||a
? ? ? ?
4．向量 a?(23)，， b??(12)，，则 ab? ????264，故选 D
4 4
fx x()log??3 是连续增函数，∵ f(3)log3 0? 3 ?? ，∵ f(4)log410? 3 ?? ，可得
x 3
ff(3)(4)0? ，∴函数 f()x 的其中一个零点所在的区间是 (34)，，故选 D．
?????????????? ???? ???2121 21111????????????????????????? ???? ????
6． EMECCM AC CB AC CAAB AC AC AB AC AB????????????() ，
3232 32262
故选 B．
π 3 4 π 13143
7． 因为 ?? ??
????0，， cos?? ， 所以 sin?? ， 则 sin sin cos?????? ??????
??2 5 5 ??32 2 252
3433?
? ，故选 A．
510
8． 因为 b?3， 22 2
c?33 3(33)?? ?a
3 2
233???a ，整理可得 aa???9180，解得 a?3或 6，故选 C．
2
数学 ZX4参考答案·第 1页（共 7页）
WWlog(1) log(11999)22?? ?? log(1)2 ?? 1.2
9．由题意得： ?20%，则 ?1.2， 12000??? ，
Wlog(11999)2 ? log20002
∵ 1.2 1.2 3.96
lg2000 1.2lg20001.2(lg23)1.2(0.33)3.96? ? ?? ?? ，故 2000 10 9120?? ，
∴ ??9119，故选 B．
??1
2??
1 2tan 4? ??2
10．由三角函数的定义知， tan??? ，所以 tan2?? ?????
2 2 ，所以
2 1tan 3? ? ??1
1??????2
π ??4
tan2 tan?? ????1
??π
tan2 7??? ? ?4 ??3
?? ，故选 D．
??4 π 4
1tan2tan? ? ??
11???
4 ????3
?????????????????????????????????3 ?????
11． ∵ ADDB?2 ， AEEC?3 ， ∴ AFABBFABBEAB ACAB AB? ????? ?????? ??? (1 )
??4
3 ???? ???? ???????????????? ???????? ???2 ?????
?AC， 同理， 向量 AF 还可以表示为 ??
AFACCFAC CDAC ABAC? ????? ??????
4 ??3
? 2
2 ???????? ?1??? ?，
? 3 2 ???? ???11????? 1
??ABAC??(1 ) ，所以 ? 解得 ?? ，所以 AFABAC?? ，所以 x? ，
3 ?3 3 32 3
???1 ?，
??4
1 11
y? ，所以 ??
()x，为y ??，，故选 A．
2 ??32
12．因为 bAaBsin cos? ， b?2， c? 6，所以 sinsin sincosBAAB? ，因为 sin 0B? ，所以
π 26
sin cosBB? ， 即 tan 1B? ， 所以 B? ， 因为 b?2， c? 6， 由正弦定理得， ? ，
4 π sinC
sin4
3 π 2π
所以 sinC ? ，因为 bc? ，所以 BC? ，所以 C ? 或 ，故选 C．
2 3 3
第 Ⅱ 卷 （非选择题，共 90 分）
二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
题号 13 14 15 16
1 ?? 32??
答案 222? 4π， 12π?93 ?aa a≥或 3 ? ?
4 ???2 ?
数学 ZX4参考答案·第 2页（共 7页）
【解析】
2
111()2 2bbabbaba?
13． ∵正实数 a， b满足 ??
ab??1， ∴ ??b? ???? ??? ?22 2≥ ?
abaabaabab ab??
2ba 11
??222，当且仅当 ? 且 ??
ab? ?1，即 a??22， b? 21? 时取等号，则 ??b?
ab ab??
的最小值为 222? ．
??log 02 xx，，? ??11 ????1 ?2
14．根据题意，函数 fx()?? x 则 f ???log 22 ?? ，则 ff f???? ????(2)2
??20，≤，x ??44 ????4
1 ．
4
15．如图 1，设 AB 的中点为 C，∵弧田所在圆的半径为 6，弦 AB
333
的长是 63， ∴ AC ?33， OA?6， 则 sin∠，AOC ??62
图 1
π 2π 2π 1
则 ∠，则AOC ? ∠ ，则弧长AOB? l ???64π ；△ AOB 的面积 S ??
3 3 3 2
2π 1
66sin 93?? ? ，扇形的面积为 ???4π 612π，则弧田的面积是 12π?93．
3 2
232
16．如图 2，过 C 作 AB 边上的高 hbA????sin 3 ，若满足
22
π 32
A? ， b?3的△ ABC有且仅有一个，则 ah?? 或 ab≥ ，所
4 2
图 2
32 ?? 32??
以 a≥ 3或 a? ，即实数 a的取值范围是 ?aa a≥或 ．3 ? ?
2 ??? 2 ?
三、解答题 （共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． （本小题满分 10分）
解： （Ⅰ）因为 fx()2? ，
x?1
所以 log 22 ? ， ………………………………………………………（ 2分）
1?x
x?1 3
即 ?4，解得 x? ．
1?x 5
…………………………………………………………………（ 4分）
数学 ZX4参考答案·第 3页（共 7页）
（Ⅱ） f()x 为奇函数， ………………………………………………………（ 5分）
?x??10，
由 ? 解得 ???11x ，定义域关于原点对称，
?10??x ，
…………………………………………………（ 7分）
且 f()log( 1)log(1) [log(1)log(1)] ()????? ??? ?? ???xx xx xfx2222 ，
…………………………………………………………（ 9分）
故 f()x 为奇函数． ……………………………………………………（ 10分）
18． （本小题满分 12分）
????????
解： （Ⅰ）设 D()xy，，由 ADBC? ，
可得 (21)(42)xy???，，， …………………………………………………（ 3分）
解得 D(63)，． …………………………………………………（ 6分）
（Ⅱ）因为 SS
△△ABD ACD?2 ，
???? ???? ???? ????2
所以 BD DC?2 ，则 BD BC? ， ……………………………………………（ 8分）
3
????????????????????22510??
又由 ADABBDAB BC??????? ?(12)(42)，，，，??
3333??
…………………………………………………（ 10分）
???? 22
????51055
所以 ||AD ??????? ．
????333
………………………………………………………（ 12分）
19． （本小题满分 12分）
π
解： （Ⅰ）因为 是 2
f()sin2 cosxxax?? 的零点，
4
??π 1
所以 fa?????10，解得 a??2，
??42
…………………………………………………（ 2分）
2 ??π
fx x x x x x()sin22cos sin2cos21 2sin2 1?????? ???? ，
??4
…………………………………………………（ 5分）
故 T ?π． …………………………………………………（ 6分）
数学 ZX4参考答案·第 4页（共 7页）
??π ππ? 3π?
（Ⅱ）由 x???0，，得 2x???? ，， ?
??2 444? ?
………………………………………………（ 8分）
π ??2
所以 ??
sin2 1??x?????， ， …………………………………………（ 10分）
??42??
??π
故 2sin2 1[221]??x?????， ， …………………………………（ 11分）
??4
故函数的值域为 [221]??，． ……………………………………………（ 12分）
20． （本小题满分 12分）
??π bc?
解： （Ⅰ）因为 sin??C?? ，
??62a
bc?
所以 3sin cosCC?? ，
a
sin sinB? C
所以 3sin cosCC?? ，
sinA
…………………………………………………（ 2分）
所以 sincos 3sinsin sin sin sin( )sinA CACBCACC?????? ，
??π 1
化简可得 3sin cos 1AA?? ，可得 sin??A? ? ， ………………………（ 4分）
??62
ππ 5π
又因为 0??A π，可得 ????A ，
666
ππ π
可得 A?? ，所以 A? ． …………………………………………………（ 6分）
66 3
331 3
（Ⅱ）因为△ ABC的面积为 ??bc A bcsin ，
22 4
解得 bc?6， …………………………………………………（ 8分）
22222
bcabc?? ??71
所以 cosA??? ，
2122bc
解得 22
bc??13， …………………………………………………（ 10分）
?bc?6，
由 ? 22 解得 b?2， c?3或 c?2， b?3．
?bc??13，
………………………………………………（ 12分）
数学 ZX4参考答案·第 5页（共 7页）
21． （本小题满分 12分）
a
解： （Ⅰ） fx() 1? x ? 为奇函数，
e1?
……………………………………………………（ 1分）
1
则 fa(0) 10??? ，即 a??2，
2
…………………………………………………（ 2分）
2
所以 fx()1?? x ， ………………………………………………………（ 3分）
1e?
xx
222(ee)12?
设 x12?x ，则 fxfx()() 012???? ?xxxx ，
1e1e(1e)(1e)????2112
………………………………………………………（ 4分）
所以 f()()xfx12? ， ………………………………………………………（ 5分）
所以 f()x 在 R上单调递增．
…………………………………………………………（ 6分）
（Ⅱ）因为 2
fxfx(1) ( 2)0????? ，
所以 22
fxfx fx(1) ( 2) ( 2)??????? ，
所以 2
12???xx ， ………………………………………………………（ 9分）
?? ??113 113
解得 ??x ，
22
………………………………………………………（ 11分）
?????? ??113 113
故不等式的解集为 ??xx?? ．
????22
……………………………………………………（ 12分）
22． （本小题满分 12分）
解： （Ⅰ）根据题意， f()x 在 (0 )， 上单调递增．??
………………………………………………（ 1分）
证明如下：设 0?x12?x ，
22
xx
则 12??22 ??2
fxfx xx()() ( )112 12????????， ……………………（ 3分）
x12 12xxx??
数学 ZX4参考答案·第 6页（共 7页）
又由 0??x12x ，则 xx12??0，
则 fxfx()()012?? ， …………………………………………………（ 5分）
故 f()x 在 (0 )， 上单调递增．?? …………………………………………（ 6分）
（Ⅱ）根据题意， f()x 在 (0 )， 上单调递增，??
2
22?
则 f()x 在 [12]，上的最大值为 f(2) 1? ? ，
2
即 m?1， …………………………………………………（ 8分）
则有 ab?1， …………………………………………………（ 9分）
11 ab?
?? ?? ?abab≥ ，当且仅当22 ab? ?1时，等号成立，
abab
…………………………………………………（ 11分）
11
故 ? 的最小值为 2． …………………………………………………（ 12分）
ab
数学 ZX4参考答案·第 7页（共 7页）
秘 密 ★ 启 用 前 ６． 如 图 １，已 知 点 Ｍ是 △ ＡＢＣ的 边 ＢＣ的 中 点 ，点 Ｅ在 边 ＡＣ上 ，且 ＥＣ＝２ＡＥ，则 向 量 ＥＭ＝
１ ??→ １ ??→ １ ??→ １ ??→
Ａ． ＡＣ＋ ＡＢ Ｂ． ＡＣ＋ ＡＢ
镇 雄 四 中 高 一 年 级 春 季 学 期 期 末 考 试 ２ ３ ６ ２
数 学 １ ??→ １ ??→ １ ??→ ２ ??→
Ｃ． ＡＣ＋ ＡＢ Ｄ． ＡＣ＋ ＡＢ
２ ６ ６ ３
图 １
本 试 卷 分 第 Ⅰ卷 （选 择 题 ）和 第 Ⅱ卷 （非 选 择 题 ）两 部 分 ． 第 Ⅰ卷 第 １页 至 第 ２页 ，第 Ⅱ卷 第 ３ 页 至 第 ４ π ３ π
７． ０ ｃｏｓ ＝
页 ． 已 知 α∈ ， ， α ，则 ｓｉｎ α－ ＝
考 试 结 束 后 ，请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 ． 满 分 １５０分 ，考 试 用 时 １２０分 钟 ． ( ２ ) ５ ( ３ )
４－３ ３ ３ ３－４ ４ ３－３ ４＋３ ３
第 Ⅰ卷 （选 择 题 ，共 ６０分 ） Ａ． 槡 Ｂ． 槡 Ｃ． 槡 Ｄ． 槡
１０ １０ １０ １０
注 意 事 项 ：
１． ＝ ＝ ＝ ＝
答 题 前 ，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名 、准 考 证 号 、考 场 号 、座 位 号 在 答 题 卡 上 填 写 清 楚 ． ８． 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所 对 的 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ． 若 ｂ ３，ｃ ３ ３ Ｂ ３０° ａ
槡 ， ，则
２． 每 小 题 选 出 答 案 后 ，用 ２Ｂ铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ． 如 需 改 动 ，用 橡 皮 擦 干 净 后 ，再 Ａ． ６ Ｂ． ３ Ｃ． ６或 ３ Ｄ． ６或 ４
选 涂 其 他 答 案 标 号 ． 在 试 题 卷 上 作 答 无 效 ． Ｓ
９． ５Ｇ技 术 的 数 学 原 理 之 一 便 是 著 名 的 香 农 公 式 ：Ｃ＝Ｗｌｏｇ２ １＋
( Ｎ ，它 表 示 ：在 受 高 斯 白 噪 声 干 扰 的 信 道 中 ，
)
一 、选 择 题 （本 大 题 共 １２小 题 ，每 小 题 ５分 ，共 ６０分 ． 在 每 小 题 所 给 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）
３
５ｉ 最 大 信 息 传 递 速 率 Ｃ取 决 于 信 道 带 宽 Ｗ、信 道 内 所 传 信 号 的 平 均 功 率 Ｓ、信 道 内 部 的 高 斯 噪 声 功 率 Ｎ 的 大
１． 若 复 数 ｚ＝ ｉ
２＋ｉ（为 虚 数 单 位 ），则 ｚ ＝ Ｓ Ｓ
小 ，其 中 ．
Ｎ叫 做 信 噪 比 按 照 香 农 公 式 ，在 不 改 变 Ｗ的 情 况 下 ，将 信 噪 比 １９９９ λ Ｃ
Ｎ从 提 升 至 ，使 得 大 约
５ ５
Ａ． 槡 Ｂ． ５
３ 槡 ３?９６
增 加 了 ２０％，则 λ的 值 约 为 （参 考 数 据 ：ｌｇ２≈ ０?３，１０ ≈ ９１２０）
Ｃ． ５ Ｄ． ５ ５ Ａ． ７５９６ Ｂ． ９１１９ Ｃ． １１５８４ Ｄ． １４４６９
槡
２
２． 集 合 Ａ＝｛ｙ ｙ＝ｘ ，ｘ∈ Ｒ｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）ｙ＝ｘ＋２，ｘ∈ Ｒ π
｝，则 Ａ∩ Ｂ等 于 １０． 已 知 角 θ的 终 边 过 点 （－２，１），则 ｔａｎ ２θ－
( ４ 的 值 为
)
Ａ． ｛（－１，１），（２，４）｝ Ｂ． ｛（－１，１）｝ ４
Ａ． －７ Ｂ．
Ｃ． ｛（２，４）｝ Ｄ． ? ３
３． ４
下 列 向 量 中 不 是 单 位 向 量 的 是 Ｃ． － Ｄ． ７
３
Ａ． （１，０） Ｂ． （１，１） ??→ ??→ ??→
１１． 如 图 ２，在 △ ＡＢＣ中 ，ＡＤ＝２ＤＢ，ＡＥ＝３ＥＣ，ＣＤ与 ＢＥ交 于 Ｆ，ＡＦ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣ，则 （ｘ，ｙ）为
→ａ →
Ｃ． （ｃｏｓα，ｓｉｎα） Ｄ． → （ａ ≠ ０） １ １ １ １
ａ Ａ． ３ ， Ｂ． －
( ２ ) ( ３ ，２ )
→ → → →
４． 若 向 量 ａ＝（２，３），ｂ＝（－１，２），则 ａ·ｂ＝ １ １ １ １
Ｃ． － ， Ｄ． ，
Ａ． －４ Ｂ． －２ ( ２ ３ ) ( ２ ３ )
图 ２
Ｃ． ２ Ｄ． ４ １２． 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ的 对 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，ｂｓｉｎＡ＝ａｃｏｓＢ，ｂ＝２，ｃ＝ ６ Ｃ
槡 ，则 角 为
４
５． 函 数 ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３ｘ－ ｘ 的 零 点 所 在 的 区 间 是 ２π ５π
Ａ． Ｂ．
３ ６
Ａ． （０，１） Ｂ． （１，２） π ２π π ５π
Ｃ． Ｄ．
Ｃ． （２，３） Ｄ． 或 或
（３，４） ３ ３ ６ ６
数 学 ＺＸ４·第 １页 （共 ４页 ） 数 学 ＺＸ４·第 ２页 （共 ４页 ）
书书书
第 Ⅱ卷 （非 选 择 题 ，共 ９０分 ） １９． （本 小 题 满 分 １２分 ）
２ π
注 意 事 项 ： 已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ａｃｏｓ ｘ（ａ∈ Ｒ，ａ为 常 数 ），且 ｙ＝ｆ ｘ
４ 是 函 数 （）的 零 点 ．
第 Ⅱ卷 用 黑 色 碳 素 笔 在 答 题 卡 上 各 题 的 答 题 区 域 内 作 答 ，在 试 题 卷 上 作 答 无 效 ． （Ⅰ）求 ａ的 值 ，并 求 函 数 ｆ（ｘ）的 最 小 正 周 期 ；
π
（Ⅱ）若 ｘ∈ ０，
[ ２ ，求 函 数 ｆ（ｘ）的 值 域 ．
]
二 、填 空 题 （本 大 题 共 ４小 题 ，每 小 题 ５分 ，共 ２０分 ）
１ １
１３． 已 知 正 实 数 ａ，ｂ满 足 ａ＋ｂ＝１，则 ｂ＋ ．
ａ( ｂ 的 最 小 值 是
)
ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞０， １
１４． 已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝
ｘ 则 ｆ ｆ ＝ ．
４
{２ ，ｘ≤ ０ ( ( ))
， ２０． （本 小 题 满 分 １２分 ）
１５． 《九 章 算 术 》是 中 国 古 代 的 数 学 名 著 ，其 中 《方 田 》一 章 给 出 了 弧 田 面 积 的 π ｂ＋ｃ
) 已 知 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所 对 的 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，ｓｉｎ Ｃ＋ ＝ ．
( ６ ) ２ａ
计 算 方 法 ． 如 图 ３所 示 ，弧 田 是 由 圆 弧 ＡＢ和 其 对 弦 ＡＢ 围 成 的 图 形 ，若 弧 田 （Ⅰ）求 Ａ；
所 在 圆 的 半 径 为 ６，弦 ＡＢ的 长 是 ６ ３
槡 ，则 弧 田 的 弧 长 为 ；弧 田 ３ ３
的 面 积 是 ． 槡
（注 ：其 中 第 一 空 ２分 ，第 二 空 ３分 ） 图 ３ （Ⅱ）若 ａ＝ ７ ＡＢＣ ｂ ｃ．
槡 ，△ 的 面 积 为 ２ ，求 ，
π
１６． 在 △ ＡＢＣ中 ，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所 对 的 边 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，若 满 足 Ａ＝ ｂ＝３ △ ＡＢＣ ａ
４ ， 的 有 且 仅 有 一 个 ，则 边
的 取 值 范 围 是 ．
三 、解 答 题 （共 ７０分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ，证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ） ２１． （本 小 题 满 分 １２分 ）
１７． （本 小 题 满 分 １０分 ） ａ
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋１（其 中 ａ为 实 数 ）为 奇 函 数 ．
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）－ｌｏｇ２（１－ｘ）． ｅ ＋１
（Ⅰ）若 ｆ（ｘ）＝ ２，求 ｘ的 值 ； （Ⅰ）判 断 ｆ（ｘ）的 单 调 性 并 证 明 ；
２
（Ⅱ）判 断 ｆ（ｘ）的 奇 偶 性 并 予 以 证 明 ． （Ⅱ）解 不 等 式 ｆ（１－ｘ）＋ｆ（－ｘ ＋２）＞０．
１８． ２２． １２
（本 小 题 满 分 １２分 ） （本 小 题 满 分 分 ）
２
在 △ ＡＢＣ中 ，点 Ａ（２，１），Ｂ（１，３），Ｃ（５，５）． ｘ －２
已 知 函 数 ｆ（ｘ）＝ ．
ｘ
（Ⅰ）若 四 边 形 ＡＢＣＤ为 平 行 四 边 形 ，求 Ｄ点 坐 标 ； Ⅰ ｆ ｘ ０ ＋∞
??→ （ ）判 断 （）在 （， ）上 的 单 调 性 ，并 用 定 义 法 证 明 ；
（Ⅱ）若 Ｄ在 线 段 ＢＣ上 ，且 Ｓ△ ＡＢＤ＝２Ｓ△ ＡＣＤ，求 ＡＤ ． １ １
（Ⅱ）已 知 ｆ（ｘ）在 ［１，２］上 的 最 大 值 为 ｍ，若 正 实 数 ａ，ｂ满 足 ａｂ＝ｍ，求 ＋ ．
ａ ｂ 的 最 小 值
数 学 ＺＸ４·第 ３页 （共 ４页 ） 数 学 ＺＸ４·第 ４页 （共 ４页 ）
镇雄四中高一年级春季学期期末考试
数学参考答案
第 Ⅰ 卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D D B A C B D A C
【解析】
3 3
5i |5i| 5 5
1．由 z? ，则 || 5z ???? ，故选 B．
2i? |2i|? 22
21? 5
2
2．因为 Ayyxx???{| }， R ，集合 A 中的元素是数，集合 Bxyyxx{( )| 2 }，，，集???R
合 B中的元素是点，所以 AB? ??，故选 D．
? ?
22 ?
22
3． A． ||1a ? ， 是单位向量； B． ||1121a ???? ， 不是单位向量； C． ||cossina ???? ?
?? ?
aa|| a ?
????1，则 ? (||0)a ? 是单位向量，故选 B．
||||aa ||a
? ? ? ?
4．向量 a?(23)，， b??(12)，，则 ab? ????264，故选 D
4 4
fx x()log??3 是连续增函数，∵ f(3)log3 0? 3 ?? ，∵ f(4)log410? 3 ?? ，可得
x 3
ff(3)(4)0? ，∴函数 f()x 的其中一个零点所在的区间是 (34)，，故选 D．
?????????????? ???? ???2121 21111????????????????????????? ???? ????
6． EMECCM AC CB AC CAAB AC AC AB AC AB????????????() ，
3232 32262
故选 B．
π 3 4 π 13143
7． 因为 ?? ??
????0，， cos?? ， 所以 sin?? ， 则 sin sin cos?????? ??????
??2 5 5 ??32 2 252
3433?
? ，故选 A．
510
8． 因为 b?3， 22 2
c?33 3(33)?? ?a
3 2
233???a ，整理可得 aa???9180，解得 a?3或 6，故选 C．
2
数学 ZX4参考答案·第 1页（共 7页）
WWlog(1) log(11999)22?? ?? log(1)2 ?? 1.2
9．由题意得： ?20%，则 ?1.2， 12000??? ，
Wlog(11999)2 ? log20002
∵ 1.2 1.2 3.96
lg2000 1.2lg20001.2(lg23)1.2(0.33)3.96? ? ?? ?? ，故 2000 10 9120?? ，
∴ ??9119，故选 B．
??1
2??
1 2tan 4? ??2
10．由三角函数的定义知， tan??? ，所以 tan2?? ?????
2 2 ，所以
2 1tan 3? ? ??1
1??????2
π ??4
tan2 tan?? ????1
??π
tan2 7??? ? ?4 ??3
?? ，故选 D．
??4 π 4
1tan2tan? ? ??
11???
4 ????3
?????????????????????????????????3 ?????
11． ∵ ADDB?2 ， AEEC?3 ， ∴ AFABBFABBEAB ACAB AB? ????? ?????? ??? (1 )
??4
3 ???? ???? ???????????????? ???????? ???2 ?????
?AC， 同理， 向量 AF 还可以表示为 ??
AFACCFAC CDAC ABAC? ????? ??????
4 ??3
? 2
2 ???????? ?1??? ?，
? 3 2 ???? ???11????? 1
??ABAC??(1 ) ，所以 ? 解得 ?? ，所以 AFABAC?? ，所以 x? ，
3 ?3 3 32 3
???1 ?，
??4
1 11
y? ，所以 ??
()x，为y ??，，故选 A．
2 ??32
12．因为 bAaBsin cos? ， b?2， c? 6，所以 sinsin sincosBAAB? ，因为 sin 0B? ，所以
π 26
sin cosBB? ， 即 tan 1B? ， 所以 B? ， 因为 b?2， c? 6， 由正弦定理得， ? ，
4 π sinC
sin4
3 π 2π
所以 sinC ? ，因为 bc? ，所以 BC? ，所以 C ? 或 ，故选 C．
2 3 3
第 Ⅱ 卷 （非选择题，共 90 分）
二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
题号 13 14 15 16
1 ?? 32??
答案 222? 4π， 12π?93 ?aa a≥或 3 ? ?
4 ???2 ?
数学 ZX4参考答案·第 2页（共 7页）
【解析】
2
111()2 2bbabbaba?
13． ∵正实数 a， b满足 ??
ab??1， ∴ ??b? ???? ??? ?22 2≥ ?
abaabaabab ab??
2ba 11
??222，当且仅当 ? 且 ??
ab? ?1，即 a??22， b? 21? 时取等号，则 ??b?
ab ab??
的最小值为 222? ．
??log 02 xx，，? ??11 ????1 ?2
14．根据题意，函数 fx()?? x 则 f ???log 22 ?? ，则 ff f???? ????(2)2
??20，≤，x ??44 ????4
1 ．
4
15．如图 1，设 AB 的中点为 C，∵弧田所在圆的半径为 6，弦 AB
333
的长是 63， ∴ AC ?33， OA?6， 则 sin∠，AOC ??62
图 1
π 2π 2π 1
则 ∠，则AOC ? ∠ ，则弧长AOB? l ???64π ；△ AOB 的面积 S ??
3 3 3 2
2π 1
66sin 93?? ? ，扇形的面积为 ???4π 612π，则弧田的面积是 12π?93．
3 2
232
16．如图 2，过 C 作 AB 边上的高 hbA????sin 3 ，若满足
22
π 32
A? ， b?3的△ ABC有且仅有一个，则 ah?? 或 ab≥ ，所
4 2
图 2
32 ?? 32??
以 a≥ 3或 a? ，即实数 a的取值范围是 ?aa a≥或 ．3 ? ?
2 ??? 2 ?
三、解答题 （共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． （本小题满分 10分）
解： （Ⅰ）因为 fx()2? ，
x?1
所以 log 22 ? ， ………………………………………………………（ 2分）
1?x
x?1 3
即 ?4，解得 x? ．
1?x 5
…………………………………………………………………（ 4分）
数学 ZX4参考答案·第 3页（共 7页）
（Ⅱ） f()x 为奇函数， ………………………………………………………（ 5分）
?x??10，
由 ? 解得 ???11x ，定义域关于原点对称，
?10??x ，
…………………………………………………（ 7分）
且 f()log( 1)log(1) [log(1)log(1)] ()????? ??? ?? ???xx xx xfx2222 ，
…………………………………………………………（ 9分）
故 f()x 为奇函数． ……………………………………………………（ 10分）
18． （本小题满分 12分）
????????
解： （Ⅰ）设 D()xy，，由 ADBC? ，
可得 (21)(42)xy???，，， …………………………………………………（ 3分）
解得 D(63)，． …………………………………………………（ 6分）
（Ⅱ）因为 SS
△△ABD ACD?2 ，
???? ???? ???? ????2
所以 BD DC?2 ，则 BD BC? ， ……………………………………………（ 8分）
3
????????????????????22510??
又由 ADABBDAB BC??????? ?(12)(42)，，，，??
3333??
…………………………………………………（ 10分）
???? 22
????51055
所以 ||AD ??????? ．
????333
………………………………………………………（ 12分）
19． （本小题满分 12分）
π
解： （Ⅰ）因为 是 2
f()sin2 cosxxax?? 的零点，
4
??π 1
所以 fa?????10，解得 a??2，
??42
…………………………………………………（ 2分）
2 ??π
fx x x x x x()sin22cos sin2cos21 2sin2 1?????? ???? ，
??4
…………………………………………………（ 5分）
故 T ?π． …………………………………………………（ 6分）
数学 ZX4参考答案·第 4页（共 7页）
??π ππ? 3π?
（Ⅱ）由 x???0，，得 2x???? ，， ?
??2 444? ?
………………………………………………（ 8分）
π ??2
所以 ??
sin2 1??x?????， ， …………………………………………（ 10分）
??42??
??π
故 2sin2 1[221]??x?????， ， …………………………………（ 11分）
??4
故函数的值域为 [221]??，． ……………………………………………（ 12分）
20． （本小题满分 12分）
??π bc?
解： （Ⅰ）因为 sin??C?? ，
??62a
bc?
所以 3sin cosCC?? ，
a
sin sinB? C
所以 3sin cosCC?? ，
sinA
…………………………………………………（ 2分）
所以 sincos 3sinsin sin sin sin( )sinA CACBCACC?????? ，
??π 1
化简可得 3sin cos 1AA?? ，可得 sin??A? ? ， ………………………（ 4分）
??62
ππ 5π
又因为 0??A π，可得 ????A ，
666
ππ π
可得 A?? ，所以 A? ． …………………………………………………（ 6分）
66 3
331 3
（Ⅱ）因为△ ABC的面积为 ??bc A bcsin ，
22 4
解得 bc?6， …………………………………………………（ 8分）
22222
bcabc?? ??71
所以 cosA??? ，
2122bc
解得 22
bc??13， …………………………………………………（ 10分）
?bc?6，
由 ? 22 解得 b?2， c?3或 c?2， b?3．
?bc??13，
………………………………………………（ 12分）
数学 ZX4参考答案·第 5页（共 7页）
21． （本小题满分 12分）
a
解： （Ⅰ） fx() 1? x ? 为奇函数，
e1?
……………………………………………………（ 1分）
1
则 fa(0) 10??? ，即 a??2，
2
…………………………………………………（ 2分）
2
所以 fx()1?? x ， ………………………………………………………（ 3分）
1e?
xx
222(ee)12?
设 x12?x ，则 fxfx()() 012???? ?xxxx ，
1e1e(1e)(1e)????2112
………………………………………………………（ 4分）
所以 f()()xfx12? ， ………………………………………………………（ 5分）
所以 f()x 在 R上单调递增．
…………………………………………………………（ 6分）
（Ⅱ）因为 2
fxfx(1) ( 2)0????? ，
所以 22
fxfx fx(1) ( 2) ( 2)??????? ，
所以 2
12???xx ， ………………………………………………………（ 9分）
?? ??113 113
解得 ??x ，
22
………………………………………………………（ 11分）
?????? ??113 113
故不等式的解集为 ??xx?? ．
????22
……………………………………………………（ 12分）
22． （本小题满分 12分）
解： （Ⅰ）根据题意， f()x 在 (0 )， 上单调递增．??
………………………………………………（ 1分）
证明如下：设 0?x12?x ，
22
xx
则 12??22 ??2
fxfx xx()() ( )112 12????????， ……………………（ 3分）
x12 12xxx??
数学 ZX4参考答案·第 6页（共 7页）
又由 0??x12x ，则 xx12??0，
则 fxfx()()012?? ， …………………………………………………（ 5分）
故 f()x 在 (0 )， 上单调递增．?? …………………………………………（ 6分）
（Ⅱ）根据题意， f()x 在 (0 )， 上单调递增，??
2
22?
则 f()x 在 [12]，上的最大值为 f(2) 1? ? ，
2
即 m?1， …………………………………………………（ 8分）
则有 ab?1， …………………………………………………（ 9分）
11 ab?
?? ?? ?abab≥ ，当且仅当22 ab? ?1时，等号成立，
abab
…………………………………………………（ 11分）
11
故 ? 的最小值为 2． …………………………………………………（ 12分）
ab
数学 ZX4参考答案·第 7页（共 7页）
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