(共27张PPT)
2.1.1直线的点斜式方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
问题1
直线的斜率的计算公式是什么？
直线的斜率公式
(1)定义式：若直线
l
的倾斜角
，则斜率k＝tan_α.
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线
l
上，且x1≠x2，则
l
的斜率
新知导入
问题2
两条不重合的直线斜率都存在，如何用直线的斜率判定两直线平行与垂直？
（
且
）
新知讲解
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.
这样，在平面直角坐标系中，给定一个点
和斜率k
（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.
也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x,
y）与点
和斜率
k
之间的关系是完全确定的。那么，这一关系如何表示呢？
下面我们就来研究这个问题。
新知讲解
如图
直线l
经过点
且斜率为k
.
设P（x,
y）是直线
l
上不同于点
的任意一点，由斜率公式得
即
合作探究
由上述推导过程可知：
?（1）
直线
l
上的每一个点的坐标（x,
y）都满足关系式
（2）
坐标满足关系式
的每一个点都在过点，斜率为k直线
l上.
由（1）（2）可得，坐标满足关系式
的点一定在直线
l
上；
直线
l
上任意一点的坐标一定满足关系式
合作探究
我们把方程
称为过点
，斜率为k
的直线
l
的方程。
方程
由直线上一个定点
及该直线的斜率k
确定，
我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
直线的点斜式方程
新知讲解
注意：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：
①已知一点P(x0，y0)和斜率k；
②斜率必须存在．
只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程
y－y0＝k(x－x0)
与方程
不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程
y－y0＝k(x－x0)
表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
新知讲解
思考
当直线
l
的倾斜角为时，直线
l
的方程是什么？为什么？
当直线
l
的倾斜角为
时，如图
这时，直线
l
与
x
轴平行或重合，直线
l
的方程是
合作探究
思考
2.
当直线
l
的倾斜角为时，直线
l
的方程如何表示？为什么？
当直线
l
的倾斜角为
时，如图
由于
无意义，直线没有斜率，这时直线
l
与
y
轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。又因为这时直线
l
上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是
课堂练习
例1
直线
l
经过点且倾斜角
，求直线
l
的点斜式方程，并画出直线
l
.
解：
直线
l
经过点，斜率
代人点斜式方程得
y-3=x+2
画图时，只需再找出直线
l
上的另一点
，例如，取
得点的坐标为（-1，4），过
两点的直线即为所求，如图.
合作探究
下面我们看点斜式的一种特殊情形，
如果斜率为
k
的直线
l
过点
,
这时
是直线
l
与
y
轴的交点，代入直线的点斜式方程得
y-b=k(x-0)
即
y=
k
x
+
b
把直线
l
与y
轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线
l
在
y
轴上的截距。
方程
y=kx+b
由直线的斜率
k
与它在
y
轴上的截距b
确定，
我们把方程
y=kx+b
叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，
k
是直线的斜率，b
是直线在
y
轴上的截距.
斜截式方程
新知讲解
斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
当
b＝0
时，y＝kx
表示过原点的直线；
当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
合作探究
思考
截距是距离吗？
截距不是距离，它是直线与
y
轴交点的纵坐标，所以可取一切实数.
即，可为正数、0或负数.
当直线
l
在
y
轴正半轴相交时，截距b>0；
当直线
l
在
y
轴正负轴相交时，截距b<0；
当直线
l
经过原点时，截距
b=0
.
但并非所有的直线都与
y轴有交点，当直线
l与y
轴平行时，
l
在
y
轴上没有截距.
有些直线在
y
轴上没有截距，即有些直线没有斜率，
所以并非所有的直线都可以用斜截式表示.
合作探究
思考
方程
y=kx+b
与我们学过的一次函数表达式类似.我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数
y=kx+b
？
你能说出一次函数
y=2x-1
，
y=3x
及
y=-x+3
图象的特点吗？
答：
斜截式方程与一次函数的解析式相同.
都是
y=kx+b
的形式.
但也有区别
当
,
y=kx+b
为一次函数，
当
k=0
是，y=b不是一次函数
.
故一次函数
y=kx+b
（）一定可以看成是一条直线的斜截式方程，但斜截式方程不一定是一次函数
一次函数
y=2x-1
，
y=3x
及
y=-x+3
图象的共同特点是：
它们都可以由其斜率及截距唯一确定.
课堂练习
例2
已知直线
,试讨论：
（1）
的条件是什么？
（2）
的条件是什么？
分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现
或
时，应满足的关系.
解：（1）
若
则
，此时，
与
y
轴的交点不同，
即
；反之，若
，且
，则
.
（2）
若
则
；
反之，若
则
新知讲解
由例2
我们得到，对于直线
课堂练习
1.(1)经过点（3，2），斜率是2的直线方程为____
．
(2)经过（0，5）倾斜角是的直线方程为____
________
．
(3)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________
____
．
(4)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为__________
____
．
(5)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为_______
____
．
y-2=2(x-3)
y=5
x＝-5
y
-
4＝-
(x
-
3)
y=2x
课堂练习
2.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是4，在
y
轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在
y
轴上的截距是3；
解：
(1)
y＝4x－3
(2)∵
课堂练习
2.写出下列直线的斜截式方程：
(3)直线在
x
轴上的截距为4，在
y
轴上的截距为－2.
(4)已知直线
l1的方程为y＝－2x＋3，l2
的方程为
y＝4x－2，直线
l
与
l1平行且与
l2
在
y
轴上的截距相同，求直线l的方程．
解：
(3)
∵直线在x轴上的截距为4，
在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4,0)和(0，－2)，
(4)
由斜截式方程知直线
l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，∴
l
的斜率k＝k1＝－2.
由题意知
l2
在
y轴上的截距为－2，
∴
l
在
y
轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
课堂练习
3.（1）当a为何值时，直线
与直线
平行.
（2）当a为何值时，直线与直线
垂直.
解：
（1）由题意可得
因为
，所以
解得
所以，当
时，直线.
（2）由题意可得
因为
，所以
解得
所以当
时，直线
.
课堂总结
1
直线的点斜式方程
2．直线的斜截式方程
y=kx+b
3．
方程名称
已知条件
直线方程
适用范围
点斜式
点
()
k存在
k存在
斜截式
截距b
k存在
k存在
课堂总结
4．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，
当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；
当k＝0时，y＝b不是一次函数，
一次函数y＝kx＋b(k≠0)必定是一条直线的斜截式方程．
截距不是距离，可正、可负也可为零，
而距离是一个非负数．
板书设计
1
直线的点斜式方程
2
直线的斜截式方程
y=kx+b
3
斜截式与一次函数的关系
作业布置
课本67页习题2.2
1，2，
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2.2.1直线的点斜式方程教学设计
课题
2.2.1直线的点斜式方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是在学习直线的倾斜角和斜率的基础上，引导学生根据已知一个点和斜率求直线方程过程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。在学习直线方程的点斜式时，主要①根据确定一条直线的几何要素，探索并初步掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；②体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。直线的点斜式方程是学习解析几何的基础，重点考察学生的数形结合能力。
学习
目标与
核心素养
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线的点斜式方程.
2.掌握直线方程的点斜式、斜截式，并会熟练应用.
3.了解截距的概念，了解直线方程的斜截式方程与一次函数的关系.
4.会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直.
核心素养
通过直线的点斜式方程和斜截式方程的应用,提高数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养.
重点
直线的点斜式方程和斜截式方程.
难点
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问题1
直线的斜率的计算公式是什么？
直线的斜率公式
(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
问题2
两条不重合的直线斜率都存在，如何用直线的斜率判定两直线平行与垂直？
（
且
）
复习引入
讲授新课
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点
和斜率k
（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.
也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x,y）与点
和斜率
k
之间的关系是完全确定的。那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题。
如图
直线l
经过点
且斜率为k
.
设P（x,
y）是直线
l
上不同于点
的任意一点，因为直线
l
的斜率为
k
，由斜率公式得
即
由上述推导过程可知：
直线
l
上的每一个点的坐标（x,
y）都满足关系式
；反过来，我们还可以验证
坐标满足关系式
的每一个点都在直线
l上.
事实上，若点
的坐标
满足关系式
，则
当
时，
这时重合，显然有点
在直线l
上
当
时，有
这表明过点
的直线
的斜率为
k
.
因为直线
的斜率都为
k
，且过
，所以它们重合.
所以，点在直线l
上.
由（1）（2）可得，坐标满足关系式
的点一定在直线l
上；直线
l
上任意一点的坐标一定满足关系式
我们把方程
称为过点
，斜率为k
的直线
l
的方程。
方程
由直线上一个定点
及该直线的斜率k
确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
注意：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：
①已知一点P(x0，y0)和斜率k；
②斜率必须存在．
只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
思考
当直线
l
的倾斜角为时，直线
l
的方程是什么？为什么？
当直线
l
的倾斜角为时，直线
l
的方程如何表示？为什么？
当直线
l
的倾斜角为
时，如图
这时，直线l
与x
轴平行或重合，直线
l
的方程是
当直线
l
的倾斜角为
时，如图
由于
无意义，直线没有斜率，这时直线
l
与
y
轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。又因为这时直线
l
上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是
例题讲解
例1
直线
l
经过点且倾斜角
，求直线
l
的点斜式方程，并画出直线
l
。
解：
直线l
经过点，斜率
代人点斜式方程得
y-3=x+2
画图时，只需再找出直线
l
上的另一点
，例如，取
得点的坐标为（-1，4），过
两点的直线即为所求，如图.
下面我们看点斜式的一种特殊情形，
如果斜率为k
的直线
l
过点
,
这时
是直线
l
与
y
轴的交点，代入直线的点斜式方程得
y-b=k(x-0)
即
y=kx+b
我们把直线
l
与y
轴的交点（0，b）的纵坐标叫做直线
l
在
y
轴上的截距。这样，方程
y=kx+b
由直线的斜率
k
与它在
y
轴上的截距b
确定，我们把
方程
y=kx+b
叫做直线的斜截式方程，简称斜截式
k
是直线的斜率，b
是直线在
y
轴上的截距.
斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；
当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
思考
1
截距是距离吗？
2方程
y=kx+b
与我们学过的一次函数表达式类似.我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数
y=kx+b
？
你能说出一次函数
y=2x-1
，
y=3x
及
y=-x+3
图象的特点吗？
思考答案
1
截距不是距离，它是直线与y
轴交点的纵坐标，所以可取一切实数.
即，可为正数、0或负数.
当直线
l
在
y
轴正半轴相交时，截距b>0；
当直线
l
在
y
轴正负轴相交时，截距b<0；
当直线
l
经过原点时，截距
b=0
.
但并非所有的直线都与
y轴有交点，当直线
l与y
轴平行时，
l
在
y
轴上没有截距.
有些直线在
y
轴上没有截距，即有些直线没有斜率，所以并非所有的直线都可以用斜截式表示.
2
斜截式方程与一次函数的解析式相同.
都是
y=kx+b
的形式.
但也有区别，
当
,
y=kx+b
为一次函数，
当
k=0
是，y=b不是一次函数
.
故一次函数
y=kx+b
（）一定可以看成是一条直线的斜截式方程，但斜截式方程不一定是一次函数.
一次函数
y=2x-1
，
y=3x
及
y=-x+3
图象的共同特点是：它们都可以由其斜率及截距唯一确定.
例题讲解
例2
已知直线
,试讨论：（1）
的条件是什么？
（2）
的条件是什么？
分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现
或
时，应满足的关系.
解：（1）
若
则
，此时，
与
y
轴的交点不同，即
；反之，若
，且
，则
.
（2）
则
；
反之，若
则
由例2
我们得到，对于直线
课堂练习
1
(1)经过点（3，2），斜率是2的直线方程为____．
(2)经过（0，5）倾斜角是的直线方程为____．
(3)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为____．
(4)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为______．
(5)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为___．
[答案]
(1)
y-2=2(x-3)
(2)
y=5
(3)
x＝－5
(4)
y－4＝－(x－3)
(5)
y=2x
课堂练习
2
写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是4，在y轴上的截距是－3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是3；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
(4)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解：(1)
y＝4x－3.
(2)∵
(3)
∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，
(4)
由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
课堂练习3
（1）当为何值时，直线
平行.
（2）当为何值时，直线
垂直.
解：（1）由题意可得
因为
，所以
解得
所以，当
时，直线.
（2）由题意可得
因为
，所以
解得
所以当
时，直线
.
引入课题
教师指出，直线的方程就是直线上任意一点的坐标（x,
y）满足的关系式
学生根据斜率公式，可以得到，当
时。
即
使学生进一步理解点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式
学生思考、讨论、教师评价，归纳概括
使学生在已有知识和经验的基础上探索新知
教师引导，通过画图分析，解决问题
培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程就是直线上任意一点的坐标（x,
y）满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。
方程
由直线上一定点及其斜率确定，所有叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
巩固点斜式
引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形
体会斜截式方程与一次函数的关系
巩固斜截式
巩固斜截式
课堂小结
1
直线的点斜式方程
2．直线的斜截式方程
y=kx+b
3．
方程名称已知条件直线方程适用范围点斜式点
k存在k存在斜截式截距b
k存在y=kx+bk存在
4．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，
当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；
当k＝0时，y＝b不是一次函数，
一次函数y＝kx＋b(k≠0)必定是一条直线的斜截式方程．
截距不是距离，可正、可负也可为零，
而距离是一个非负数．
板书
1
直线的点斜式方程
2．直线的斜截式方程
y=kx+b
3．斜截式与一次函数的关系
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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