广东省湛江市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

湛江市2020~2021学年度第二学期期末高中调研考试
高一数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.函数false的零点所在的区间为（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.在等边false中，点false在中线false上，且false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.①②③ D.②④
5.在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，若false，false，false，则false（ ）
A.3 B.2 C.1 D.false
6.在正方体false中，false为棱false的中点，则异面直线false与false所成角的余弦值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.若对于任意的false，false恒成立，则实数false的最小值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，若false，且false，则false一定是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中为真命题的是（ ）
A.“false”的充要条件是“false”
B.“false”是“false”的既不充分也不必要条件
C.命题“false，false”的否定是“false，false”
D.“false，false”是“false”的必要条件
10.下列命题错误的是（ ）
A.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
D.棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数false，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数false，则下列结论正确的是（ ）
A.false是偶函数 B.false的最小正周期为false
C.false在区间false上单调递增 D.false的最小值为1
12.如图，正方体false的棱长为1，线段false上有两个动点false，false，且false，则下列结论中正确的有（ ）

A.当false点运动时，false总成立
B.当false向false运动时，二面角false逐渐变小
C.二面角false的最小值为45°
D.三棱锥false的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知复数false在复平面内对应的点在第二象限，且false，则false______.（写出满足条件的一个复数即可）
14.已知false，false，false，则向量false与false的夹角为______.
15.函数false的单调递增区间为______.
16.已知三棱锥false外接球的表面积为false，false平面false，false，false，则
false的长为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设复数false，false，且它们在复平面上对应的点分别为false，false，false.
（1）求false，false；
（2）求false.
18.已知集合false，其中false，集合false.
（1）当false时，求false；
（2）若false，求实数false的取值范围.
19.已知函数false的最小正周期为false，且false.
（1）求false和false的值.
（2）将函数false的图象向右平移false个单位长度（纵坐标不变），得到函数false的图象，
①求函数false的单调递增区间；
②求函数false在false上的最大值.
20.如图，false是等边三角形，false平面false，false，false，false为false的中点.

（1）证明：false平面false.
（2）证明：false平面false.
21.在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false，false为false外接圆的半径，false，false.
（1）若false，求false的面积；
（2）求false的最大值，并判断此时false的形状.
22.已知false，函数false.
（1）判断函数false在false上的单调性，并用定义法证明；
（2）设false，若对任意false，false恒成立，求false的取值范围.
湛江市2020~2021学年度第二学期期末高中调研考试
高一数学试卷参考答案
1.A 因为false，false，
所以false.
2.B 因为false是增函数，且false，false，
所以零点所在的区间为false.
3.D 因为false，false，
所以false.
4.A 对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；
对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；
对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于false轴的线段长度减半知，
正方形的直观图不是菱形，③错误；
对于④，因为false，
所得直观图的对角线不垂直，
所以直观图不可能为菱形，④错误.
5.C 因为false，false，
所以false，
由false，即false，
解得false.
6.D 连接false（图略），因为false，
所以false为异面直线false与false所成的角.
设棱长为2，易知false，false，
所以false.
7.B 因为false，false，
所以false.
8.D 因为false，
所以false，
解得false，从而false.
又false，
由sfalse，
得false，
进一步整理得false，
所以false，
则false，false，
故false为等腰直角三角形.
9.BC 对于A，当false时，一不存在，A错误；
对于B，当false，false时，false不成立，B正确；
根据命题的否定的定义知C正确；
对于D，“false，false”是“false”的充分条件，不是必要条件，D错误.
10.AB 直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，A错误；
若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B错误；易知C，D均正确.
11.AD 因为false，所以false是偶函数，A正确；
false显然是周期函数，
因为false，
所以B错误；
因为当false时，
false，
所以false在区间false上单调递增，在false上单调递减，C错误；
由B中解答知false是false的周期，
因为false
当false时，false，
当false时，false，
所以false的最小值为1，D正确.
12.ACD 对于A，易证false平面false，
所以false，同理可证false，从而false平面false，
所以false恒成立，A正确；
对于B，平面false即平面false，
而平面false即平面false，
所以当false向false运动时，二面角false的大小不变，B错误；
对于C，当点false从false的中点向点false运动时，
平面false逐渐向底面false靠拢，
这个过程中，二面角越来越小，
所以二面角false的最小值为45°，C正确；
对于D，因为false，
点false到平面false的距离为false，
所以体积为false，即体积为定值，D正确.
13.false（答案不唯一） 设false，false，false，
只需满足false，false，false即可.
14.false 设向量false与false的夹角为false，
因为false，
所以false.
15false（或写成false也可以） 因为函数false的定义域为false，
抛物线false的对称轴为直线false，开口向下，
所以false的单调递增区间为false.
16.12 设球的半径为false，false外接圆的半径为false，
由false，得false.
由false，得false.
因为false，
所以false.
17.解：（1）因为false，
所以false.
又因为false，
所以false，false.
（2）因为false，
所以false.
由（1）知false，
所以false，
所以false.
18.解：（1）集合false.
当false时，false可化为false，
解得false，
所以集合false，
故false.
（2）显然false，即false.
当false，
即false时，false.
又因为false，
所以false
所以false.
当false，
即false时，false.
又因为false，
所以false
所以false.
综上所述，实数false的取值范围为false.
方法二：因为false，
所以对于任意的false，false恒成立.
令false，
则false即false
解得false或false，
所以实数false的取值范围为false.
19.解：（1）false的最小正周期为false，
所以false，
即false.
又因为false，
所以false，
即false.
（2）由（1）可知false，
则false.
①由false，
得函数false的单调递增区间为false.
②因为false，
所以false.
当false，
即false时，
函数false取得最大值，最大值为false
20.证明：（1）如图，取false的中点false，连接false，false.
因为false，false，
所以false，false.
又因为false，false，
所以false，false，四边形false为平行四边形，

所以false.
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false.
（2）因为false平面false，
所以false.
又因为false是等边三角形，false是false的中点，
所以false.
因为false，
所以false平面false.
由（1）知false，
所以false平面false，
从而false.
因为false，false为false的中点，
所以false.
又false，
所以false平面false.
21.解：（1）由false，
得false.
又因为false，
所以false，
解得false.
又false，
所以false.
由余弦定理得false，
所以false，
因为false，
所以false，
所以false.
（2）由余弦定理得false，
所以false，
所以false，false，
当且仅当false时等号成立，
所以false的最大值为false，
此时false为等边三角形..
方法二：用正弦定理计算同样给分.
22.（1）证明：当false时，false在false上单调递减.
任取false，false，
由于false，
所以false，
所以false，
故false在false上单调递减.
（2）解：依题意，false.
令false，false，
所以false在false上单调递减，
在false上单调递增，
且当false和false时，false，
而当false时，false，
所以false.
因为false，
所以false，
故false.
因为对任意false，false恒成立，
所以false，
即false，
化简得false，
解得false，故false的取值范围是false.