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中考一轮复习讲义第9讲： 二次函数的的图象、性质和应用
【考纲解读】
考点 考纲内容 要求 命题规律 命题趋势
1、二次函数图像与性质 二次函数图像二次函数性质 CD 3分 填空、选择解答题
2、待定系数法求解析式 确定二次函数表达式 C 10分 解答题
3、二次函数图像与一元二次方程 二次函数与一元二次方程、二次不等式联系 C 3分 选择、填空
4、二次函数应用 二次函数生活中简单应用 D 8分 解答题
【知识梳理】
一、二次函数的基本形式
的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
、、及的符号与图象的关系
⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．
⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：
a、b同号，对称轴（＜0）在y轴的左侧；
a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.
简单地说： “左同右异”
⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：
c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
c＝0，抛物线经过原点；
c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：
①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【典例真题】
考点1：二次函数图像、性质
1、（2021 台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，∴a＝1．故选：A．
2、（2021 大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；
②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；
当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，
解得x＝1或x＝，
故②正确；
③当a＝0时，y＝﹣x+1，若＜x＜1，则y＞0；
当a＞0时，函数图象开口向上，若＜x＜1，则y＜0；
当a＜0时，函数图象开口向下，若＜x＜1，则y＞0；
故③错误；
④当a＜0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，
此时ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立，
故④错误；故选：D．
3、（2021 湖北）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，
∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
4、（2021 陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，
∴（1）函数图象开口向上，
（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），
（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，
（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，
故选：C．
5、（2021 苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴k＜0．
∵抛物线y＝x2+kx﹣k2＝（x+） ﹣．
∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+﹣3） ﹣+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（0+﹣3） ﹣+1，
解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．故选：B．
6、（2020 无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
设点M的坐标为：（，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD垂直对称轴于D，
则∠1＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，
∴＝2，
∴DM＝3，
∴M（，6），
当∠M′AB＝90°时，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，
∴M′N＝9，
∴M′（，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（，﹣9）或（，6）．
故答案为：（，﹣9）或（，6）．
7、（2021 泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+1＝0的根的个数，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不相等的实数根．
故④正确．
故答案为：②④．
8、（2021 安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，
得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：0．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，
∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣（a﹣1）2+2，
∵﹣＜0，
∴n的最大值为2．故答案为：2．
考点2：待定系数法求解析式
1、（2020 百色）将抛物线y＝（x+1）2+1平移，使平移后得到抛物线y＝x2+6x+6．则需将原抛物线（ ）
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2+1的顶点坐标是（﹣1，1），抛物线y＝x2+6x+6＝（x+3）2﹣3的顶点坐标是（﹣3，﹣3）．
所以将点（﹣1，1）向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点（﹣3，﹣3）．
所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线y＝x2+6x+6．
故选：B．
2、（2020 巴中）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为 ．
【解答】解：记AB与y轴的交点为F，
∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴OF＝1，
则右侧抛物线的顶点B坐标为（1，1），
将点B（1，1）代入y＝kx+得k+＝1，
解得k＝，
∴y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，
解得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
则D（3，0），
设右侧抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
将点D（3，0）代入解析式得4a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+1（1≤x≤3）．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+1（1≤x≤3）．
3、（2021 广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
4、（2021 长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝4﹣2m，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．
∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．
5、（2021 黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
6、（2021 宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x ﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x ﹣4x．
考点3：二次函数图像与不等式、方程
1、（2021 贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．
2、（2021 齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共3个．故选：C．
3、（2021 宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①抛物线开口向上，则a＞0，故正确；
②由图象可知：抛物线与x轴无交点，即△＜0
∴△＝b2﹣4ac＜0，故错误；
③由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，
∴8a+2b＝2，即b＝1﹣4a，
∴4a+b＝1，故正确；
故正确；
④∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上，
由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，故正确；故选：C．
4、（2021 遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④要使a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
只须a+b+c＞m（am+b）+c成立．
即当x＝1时的y值大于当x＝m时的y值成立．
由于x＝1时函数有最大值，所以上述式子成立．
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图像的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．综上：③④正确，故选：A．
5、（2020 无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ．
【解答】解：由题意，可大致画出函数图象如下，
则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，
则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，
观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
考点4：二次函数综合应用
1、（2021 岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝0，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．故选：D．
2、（2021 襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是 m．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，故答案为：3．
3、（2021 宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，
∴根据抛物线的两点式知，y＝．
（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．
∴＝＝2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC～△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n，
又∵P在抛物线上，
∴，
联立两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）设PH与x轴的交点为Q，P（a，），
则H（a，），PH＝，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，
∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝，
∴AQ＝2PQ，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．
若PF＝PH，过点F作PM⊥y轴于点M．
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF～△BQH，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，
F（1，），
∴AF：，
联立抛物线解析式，解得x＝（﹣1舍去），此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E，
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．
此时 PH＝．
∴当FP＝FH时，PH＝；
当PF＝PH时，PH＝；
当HF＝HP时，PH＝；
4、（2021 随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【解答】解：（1）b═，c═1．
（2）由y══，
可知当x═时，y有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米；
（3）令y═，则有═，
解得x1═，x2═，
又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣═（米），
又大棚的长为16米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×═88（平方米），
故共需要88×4═352（根）竹竿，
答：共需要准备352根竹竿．
5、（2021 达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
6、（2021 南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；
（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵D是OC的中点，则点D（0,2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x﹣2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5,4），
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，）．
7、（2021 泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴(4﹣a)2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E(0，)，
设BE所在直线表达式为y＝kx+e(k≠0)，
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A(﹣4，0)，C(0，4)，
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
设P(a0，﹣a02﹣3a0+4)(﹣4＜a0＜0)，则N(a0，a0+4)，
∴＝＝＝，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为(﹣2，6)．
8、（2020 百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴ OA OB＝ AB OC，
∴×2×2＝×2 OC，
解得：OC＝，
∵⊙O的半径r＝，
∴OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，
∴可设P（x，﹣x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴﹣x2+2＝﹣x，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，
∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），
如图，当点P位于P1位置时，
OP1＝＝＝（1+）＝+，
∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，
当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，
∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；
综上所述，PM的长是或﹣2．
9、（2020 遂宁） ( http: / / www.m / math / report / detail / 09c19a00-a0cd-4b4b-bab4-20c266104307" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=2x2-3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=x2-4x+3的旋转函数．
（2）若函数y=5x2+（m-1）x+n与y=-5x2-nx-3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y=2（x-1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2（x-1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y=x2-4x+3函数可知，a1=1，b1=-4，c1=3，
∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
∴a2=-1，b2=-4，c2=-3，
∴函数y=x2-4x+3的“旋转函数”为y=-x2-4x-3；
（2）∵y=5x2+（m-1）x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”，
∴
m 1＝ nn 3＝0
，
解得：
m＝ 2n＝3
，
∴（m+n）2020=（-2+3）2020=1．
（3）证明：当x=0时，y=2（x-1）（x+3）=-6，
∴点C的坐标为（0，-6）．
当y=0时，2（x-1）（x+3）=0，
解得：x1=1，x2=-3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（-3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（-1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C1（0，6）代入y=a（x+1）（x-3），得：6=-3a，
解得：a=-2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=-2（x+1）（x-3），即y=-2x2+4x+6．
∵y=2（x-1）（x+3）=2x2+4x-6，
∴a1=2，b1=4，c1=-6，a2=-2，b2=4，c2=6，
∴a1+a2=2+（-2）=0，b1=b2=4，c1+c2=6+（-6）=0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=2（x-1）（x+3）互为“旋转函数”．
【真题演练】
1、（2021 东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．故选：C．
2、（2021 鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
①∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵b＝﹣2a，
∴4a+2b+c＝4a+2×（﹣2a）+c＝4a﹣4a+c＝c＞0．
故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．
∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．
故③正确；
④∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n），
∴当y＝n时，x＝﹣3或5．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．故选：C．
3、（2021 随州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（﹣2c，0）．
由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0．
①：∵a＞0，b＜0，
∴a﹣b＞0，
∴．故①错误；
②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：
4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac﹣2b+1＝0，
即2b﹣4ac＝1，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），
∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1 x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，
∴a＝．故③正确；
④：如图，
∵a＝，2b﹣4ac＝1，
∴c＝2b﹣1．
故原抛物线解析式为y＝x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）．
∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，
∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．
∴对称轴为直线x＝﹣2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PQ＝＝[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b，
∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜﹣1，这与﹣1＜b＜0矛盾，故④错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个，
故选：B．
4、（2021 江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．
5、（2021 济宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．
其中正确的是 ．（只填序号）
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确；
∴当x﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴y＝a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
6、（2020 连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
7、（2021 盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 ；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【解答】解：【初步感知】
（1）如图1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），
∴P1A∥x轴，P1A＝2，
由旋转可得：P1′A∥y轴，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；
故答案为：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），
由题意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函数图象上，
∴设原一次函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴原一次函数解析式为y＝x+；
【深入感悟】
设双曲线与二、四象限平分线交于N点，则：
，
解得：，
∴N（﹣1，1），
①当x≤﹣1时，
作PQ⊥x轴于Q，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，
∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵PM⊥AM，
∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，
∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA＝＝，
即S△OMP′＝；
②当﹣1＜x＜0时，
作PH⊥y轴于点H，
∵∠POP′＝NOY＝45°，
∴∠PON＝∠P′OY，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOY﹣∠P′OY＝45°﹣∠P′OY，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OY＝45°﹣∠P′OY，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，
，
∴△POH≌△OP′M（AAS），
∴S△P′MO＝S△PHO＝＝，
综上所述，△OMP′的面积为；
【灵活运用】
如图4，连接AB，AC，将B，C绕点A逆时针旋转60°得B′，C′，作AH⊥x轴于点H，
∵A（1，﹣），B（2，0），C（3，0），
∴OH＝BH＝1，BC＝1，
∴OA＝AB＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，此时B′与O重合，即B′（0，0），
连接C′O，∵∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠CAB＝∠C′AB′，
在△C′AO和△CAB中，
，
∴△C′AO≌△CAB（SAS），
∴C′O＝CB＝1，∠C′OA＝∠CBA＝120°，
∴作C′G⊥y轴于G，
在Rt△C′GO中，∠C′OG＝90°﹣∠C′B′C＝30°，
∴C′G＝OC′＝，
∴OG＝，
∴C′（，），此时OC′的函数表达式为：y＝x，
设过P且与B′C′平行的直线l解析式为y＝x+b，
∵S△BCP′＝S△B′C′P，
∴当直线l与抛物线相切时取最小值，
则，
即x+b＝x2+2x+7，
∴x2+x+7﹣b＝0，
当△＝0时，得b＝，
∴y＝x+，
设l与y轴交于点T，
∵S△B′C′T＝S△B′C′P，
∴S△B′C′P＝×B′T×C′G＝××＝．
8、（2021 扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图像上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC＝＝6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
9、（2021 苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣（m+1）x+m＝0，解得x＝1或m，
故点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），
则点C的横坐标为（m+1），即点C的坐标为（，0）；
（2）由点C的坐标知，CO＝＝CE，
故BC＝OB﹣CO＝1﹣（m+1）＝，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠ODC＝90°，
∴∠DBC＝∠ODC，
∴tan∠DBC＝tan∠ODC，即CD2＝CO BC＝（m+1）（1﹣m）＝，
∵点C是OE中点，则CD为三角形EOF的中线，
则FO2＝（2CD）2＝4CD2＝1﹣m2，
在Rt△AOF中，AF2＝AO2+OF2＝m2+1﹣m2＝1，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接FB交对称轴于点Q，则点Q为所求点，
理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，
即1+BF＝，
则BF2＝OF2+OB2＝1﹣m2+1＝（﹣1）2，解得m＝，
∵﹣1＜m＜0，
故m＝﹣．
10、（2021 扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x)×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x)×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x)×50+3000]x﹣200x﹣(3500x﹣1850)
＝﹣50x2+1800x+1850，
当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[(50﹣x)×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝＝18，
当x＝50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+(1800﹣a)x+1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：50＜a＜150．
11、（2021 嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
12、（2021 自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）定义抛物线y＝（x+1）（x﹣a），令y＝0，可得x＝﹣1或a，
∴B（﹣1，0），A（a，0），
令x＝0，得到y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
∴OA＝OC＝a，OB＝1，
∴AB＝1+a．
∵∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°．
（2）∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵点D是△ABC的外心，
∴∠BDC＝2∠CAB＝90°，DB＝DC，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴△DBC∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2或﹣2（舍弃），
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2．
（3）作点C关于抛物线的对称轴x＝的对称点C′，连接AC′．
∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），
∴PC∥AB，
∵BC，AC′关于直线x＝对称，
∴CB＝AC′，
∴四边形ABCP是等腰梯形，
∴∠CBA＝∠C′AB，
∵∠DBC＝∠OAC＝45°，
∴∠ABD＝∠CAC′，
∴当点P与点C′重合时满足条件，
∴P（1，﹣2）．
作点P关于直线AC的对称点E（0，﹣1），则∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直线AE交抛物线于P′，点P′满足条件，
∵A（2，0），E（0，﹣1），
∴直线AE的解析式为y＝x﹣1，
由，解得或，
∴P′（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
13、我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y=
则r= ；s= ,t=
（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y=kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1-x1）-1+x2=1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称，
∴s=-1，r=4，
∴A的坐标为（1，4），
把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t=4，
故答案为r=4，s=-1，t=4；
（2）当k=0时，有y=p，
此时存在关于y轴对称得点，
∴y=kx+p是“T函数”，
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，
∴y=kx+p不是“T函数”；
（3）∵y=ax2+bx+c过原点，
∴c=0，
∵y=ax2+bx+c是“T函数”，
∴b=0，
∴y=ax2，
联立直线l和抛物线得：
∴m=-n，
∴y=mx+n=mx-m，
当x=1时，y=0，
∴直线l必过定点（1，0）
14、（2021 遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．
（2）如图1中，
∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D（0，2），
由，解得即点A，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．
（3）∵E，F为定点，
∴线段EF的长为定值，
∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，
如图2中，画出直线y＝1，将点F向左平移2个单位得到F′，
作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝1交于点M，过点F作FN∥E′F′交直线y＝1于点N，
由作图可知，EM＝E′M，FN＝F′M，
∵E′，M，F′三点共线，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此时EM+FN的值最小，
∵点F为直线y＝﹣2x+2与x＝﹣1的交点，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣3，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣5，﹣10），
如图，延长FF′交线段EE′于W，
∵FF′∥直线y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝＝4，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝＝10，
∴四边形MEFN的周长的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4+2．
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中考一轮复习讲义第9讲： 二次函数的的图象、性质和应用
【考纲解读】
考点 考纲内容 要求 命题规律 命题趋势
1、二次函数图像与性质 二次函数图像二次函数性质 CD 3分 填空、选择解答题
2、待定系数法求解析式 确定二次函数表达式 C 10分 解答题
3、二次函数图像与一元二次方程 二次函数与一元二次方程、二次不等式联系 C 3分 选择、填空
4、二次函数应用 二次函数生活中简单应用 D 8分 解答题
【知识梳理】
一、二次函数的基本形式
的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
、、及的符号与图象的关系
⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．
⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：
a、b同号，对称轴（＜0）在y轴的左侧；
a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.
简单地说： “左同右异”
⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：
c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
c＝0，抛物线经过原点；
c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：
①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【典例真题】
考点1：二次函数图像、性质
1、（2021 台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
2、（2021 大庆）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与x轴只有一个交点，则a＝1；
②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；
③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；
④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
3、（2021 湖北）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
4、（2021 陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
5、（2021 苏州）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2
6、（2020 无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
7、（2021 泰安）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
8、（2021 安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝ ；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
考点2：待定系数法求解析式
1、（2020 百色）将抛物线y＝（x+1）2+1平移，使平移后得到抛物线y＝x2+6x+6．则需将原抛物线（ ）
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
2、（2020 巴中）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为 ．
3、（2021 广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
4、（2021 长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
5、（2021 黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
6、（2021 宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
考点3：二次函数图像与不等式、方程
1、（2021 贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
2、（2021 齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、（2021 宿迁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、（2021 遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、（2020 无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ．
考点4：二次函数综合应用
1、（2021 岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
2、（2021 襄阳）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是 m．
3、（2021 宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
4、（2021 随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
5、（2021 达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
6、（2021 南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7、（2021 泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
8、（2020 百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
9、（2020 遂宁） ( http: / / www.m / math / report / detail / 09c19a00-a0cd-4b4b-bab4-20c266104307" \t "http: / / www.m / math / ques / detail / _blank )阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=2x2-3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=x2-4x+3的旋转函数．
（2）若函数y=5x2+（m-1）x+n与y=-5x2-nx-3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y=2（x-1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2（x-1）（x+3）互为“旋转函数”．
【真题演练】
1、（2021 东营）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021 鄂州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、（2021 随州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、（2021 江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5、（2021 济宁）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③3a+c＞0；
④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．
其中正确的是 ．（只填序号）
6、（2020 连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
7、（2021 盐城）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．
（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为 ；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．
【灵活运用】
如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
8、（2021 扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
9、（2021 苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．
（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．
10、（2021 扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
11、（2021 嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
12、（2021 自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13、我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y=
则r= ；s= ,t=
（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y=kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1-x1）-1+x2=1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
14、（2021 遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
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