(共22张PPT)
2.2.2直线的两点式方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
如图所示斜拉桥，又称斜张桥，是指一种由一条或多主塔与钢缆组成来支撑桥面的桥梁。
如果以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索就可以看成是过桥塔上一点与桥面上一点的直线，怎样表示直线的方程呢？
也就是说，能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
新知讲解
思考
已知直线
l
经过点
，
对于直线
l
上任意一点
P
（x
,
y）,
它的坐标与
的坐标之间有什么关系？
分析：
由经过两点的直线斜率公式可以求出直线
l
的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题。
新知讲解
当时，经过两点的直线的斜率
.
任取
中的一点，
例如，取点，由直线的点斜式方程，得
当
时，上式可写为
这就是经过两点
的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。
直线的两点式方程
合作探究
思考
1.
这个式能替代两点式吗？为什么？
答：
不能.
因为此方程中
，会比原来方程表示的直线少一点.
2.
这个式能替代两点式吗？为什么？
答：该式可以替代两点式，且可表示任意两点
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所在直线的方程.
合作探究
在如果或，则直线没有两点式方程。
当
时，直线
垂直于x
轴，直线方程为，即；
当
时，直线
垂直于y
轴，直线方程为即.
课堂练习
例3
如图
已知直线
l
与
x
轴的交点为
,与
y
轴的交点为B（0，b），其中
.求直线
l
的方程.
解：
将两点
，
B（0，b）的坐标代入两点式
,
得
即
新知讲解
其中，
叫做直线在x
轴上的截距，
b叫做直线在y
轴上的截距.
叫做直线的截距式方程，简称截距式.
方程
注：截距式方程的特点有两个.
一是左边两个式子必须用“+”连接
二是等号右边是“1”.
如
等都不是直线的截距式方程.?
直线的截距式方程
合作探究
思考：
1
两点式方程适用的范围是什么？
答：直线不与坐标轴平行或重合.
2
截距式方程适用的范围是什么？
答：
直线不与坐标轴平行、重合且不过原点.
课堂练习
例4
已知△ABC的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.
解：
如图
过
B（3，-3），C（0，2）的两点式方程为
即
5x+3y-6=0
.
由中点坐标公式，得B、C中点M的坐标为
即
过
A、M
两点的直线方程为
得
x+13y+5=0
这就是边BC上中线AM所在直线的方程.
课堂练习
1
过点
A（-5，0）和点B（3，-3）的直线的两点式方程是？
解：
因为直线过点
A（-5，0）、B（3，-3）
所以，
由两点式得
化简整理得
3x+8y+15=0
课堂练习
2
过点
A（-5，0）和点
C（0，2）的直线的两点式方程是？
解：
因为直线过点
A（-5，0）、C（0，2）
所以，
由两点式得
得
2x-5y+10=0
课堂练习
3
在x轴、y轴上的截距分别为2，-3的直线方程是？
解：由截距式方程得
即
3x-2y-6=0
课堂练习
4
是截距式方程吗？截距分别是什么？
答：不是.
应该是
,
截距分别是3,
-4
.
课堂练习
5
求过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线
l
的方程.
解法一：
（1）当直线
l
在坐标轴上的截距均为0时，
方程为
,
即
2x-5y=0
;
（2）当直线
l
在坐标轴上的截距不为0时，
设方程为
即
x-y=a
又因为直线
l
过点
A（5，2），
所以
5-2=a
,
a=3
所以
l
的方程为
x-y-3=0
综上所述，直线
l
的方程是2x-5y=0
,
或
x-y-3=0.
课堂练习
5
求过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线
l
的方程.
解法二：
由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的点斜式方程为:
y-2=k(x-5)
x=0
时，
y=2-5k；
y=0
时，
根据题意得
解得
或
1
.
当
时，
直线方程为
即：2x-5y=0
当
k=1时，
直线方程为
即：
x-y-3=0
课堂练习
求过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线
l
的方程.
1（变条件）若将本题中的条件“在坐标轴上截距互为相反数”
变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？
2
（变条件）若将本题中的条件“在坐标轴上截距互为相反数”
变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是”，其他条件不变，如何求解？
3
（变条件）若将本题中的条件“在坐标轴上截距互为相反数”
变为“在两坐标轴上的截距之和为0”，其他条件不变，如何求解？
提示:
提示:
提示:
直线
l
的方程是2x-5y=0
,
或
x+2y-9=0.
直线
l
的方程是4x-25y+30=0
,
或
x-y-3=0.
“在两坐标轴上的截距之和为0”与“在坐标轴上截距互为相反数”等价，故解法同5.
拓展
课堂总结
1
直线的两点式和截距式方程
2
直线的中点坐标公式
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且线段的中点M的坐标为（x,
y），
则
板书设计
1
直线的两点式方程
2
直线的截距式方程
3
直线的中点坐标公式
4
课堂练习
作业布置
课本67页习题2.2
4，6，7
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2.2.2直线的两点式方程教学设计
课题
直线的两点式方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课主要学习直线的两点式方程，通过把已知直线的两点坐标转化为点斜式方程的条件，即斜率和其中一点推导出两点式方程，再由两点式导出截距式
。
教学
目标与
核心素养
教学目标
1
掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围
2
了解直线方程的截距式的形式、特点及适用范围
3
会用中点坐标公式求两点的中点坐标
核心素养
通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.
重点
直线方程的两点式、截距式及其应用
难点
直线方程的截距式的形式、特点及适用范围
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
如图所示斜拉桥，又称斜张桥，是指一种由一条或多主塔与钢缆组成来支撑桥面的桥梁。
如果以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索就可以看成是过桥塔上一点与桥面上一点的直线，怎样表示直线的方程呢？
也就是说，能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
情景引入
讲授新课
思考
已知直线
l
经过点
，因为两点确定一条直线，所以直线
l
是唯一确定的。也就是说，对于直线
l
上任意一点
P
（x
,y）,
它的坐标与
的坐标之间具有唯一确定的关系。这一关系是什么呢？
由经过两点的直线斜率公式可以求出直线
l
的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题。
当时，经过两点的直线的斜率
.
任取
中的一点，例如，取点，由直线的点斜式方程，得
当
时，上式可写为
这就是经过两点
的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。
思考
1
这个式能替代两点式吗？为什么？
答：
不能，因为此方程中
，会比原来方程表示的直线少一点.
2
这个式能替代两点式吗？为什么？
答：该式可以替代两点式，且可表示任意两点
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所在直线的方程.
在，则直线没有两点式方程。
当
时，直线
垂直于x
轴，直线方程为；
当
时，直线
垂直于y
轴，直线方程为.
例3
如图
已知直线
l
与x
轴的交点为
,与
y
轴的交点为B（0，b），其中
.求直线l
的方程.
解：将两点
，
B（0，b）的坐标代入两点式，得
即
我们把直线
l
与x
轴的交点为
的横坐标
叫做直线在x
轴上的截距，此时直线在y
轴上的截距是b
.
方程
由直线
l
在两个坐标轴上的截距与b
确定，我们把方程
叫做直线的截距式方程，简称截距式.
注：截距式方程的特点有两个.一是左边两个式子必须用“+”连接
二是等号右边是“1”.
如
等都不是直线的截距式方程
思考：
两点式方程适用的范围是什么？
答：直线不与坐标轴平行或重合.
截距式方程适用的范围是什么？
答：
直线不与坐标轴平行、重合且不过原点.
例4
已知△ABC的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.
解：
如图
过
B（3，-3），C（0，2）的两点式方程为
整理得
5x+3y-6=0
.
这就是边BC所在直线的方程.
边BC上中线是的顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为
即
过
A（-5，0），M
两点的直线方程为
整理可得
x+13y+5=0
这就是边BC上中线AM所在直线的方程.
课堂练习
1
过点
A（-5，0）和点B（3，-3）的直线的两点式方程是？
解：因为直线过点
A（-5，0）、B（3，-3）
所以
由两点式得
化简整理得3x+8y+15=0
2
过点
A（-5，0）和点
C（0，2）的直线的两点式方程是？
解：因为直线过点
A（-5，0）、C（0，2）
所以
由两点式得
化简整理得2x-5y+10=0
3
在x轴、y轴上的截距分别为2，-3的直线方程是？
解：由截距式得
化简整理得3x-2y-6=0
4
是截距式方程吗？截距分别是什么？
答：不是.
应该是,
截距分别是3,
-4.
5
求过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线l
的方程.
解法一：
（1）当直线
l
在坐标轴上的截距均为0时，方程为
,
即2x-5y=0
;
（2）当直线
l
在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为
即
x-y=a
又因为直线
l过点A（5，2），
所以
5-2=a
,
a=3
所以l的方程为
x-y-3=0
综上所述，直线l的方程是2x-5y=0
,
或
x-y-3=0.
解法二：
由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的点斜式方程为:
y-2=k(x-5)
x=0
时，
y=2-5k
，y=0
时，
.
根据题意得
解得
或
1
.
当
时，直线方程为
，
即2x-5y=0
当k=1时，直线方程为
即
x-y-3=0
注：
（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.
（2）选用截距式直线方程时，首先必须考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
（3）要注意截距式直线方程的逆向运用，
如由方程
可知直线在x轴和y轴上的截距分别为3和-2.
拓展
1（变条件）若将本题中的条件“在坐标轴上截距互为相反数”
变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？
2
（变条件）若将本题中的条件“在坐标轴上截距互为相反数”
变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是”，其他条件不变，如何求解？
3
（变条件）若将本题中的条件“在坐标轴上截距互为相反数”
变为“在两坐标轴上的截距之和为0”，其他条件不变，如何求解？
提示:
1
直线l的方程是2x-5y=0
,
或
x+2y-9=0.
2
直线l的方程是4x-25y+30=0
,
或
x-y-3=0.
3“在两坐标轴上的截距之和为0”与“在坐标轴上截距互为相反数”等价，故解法同5.
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率.
这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.
在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位.
点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式.
教师引导学生通过作图，观察和分析得出结论，体现了数形结合的思想
通过思考使学生懂得两点式的适用范围
当已知的两点不满足两点式的条件时，其方程形式又是怎样的
由两点式导出截距式
中点坐标公式
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
且线段
的中点M的坐标为（x,
y）
则
注意
零截距
遵循由浅入深，由特殊到一般的认知规律使学生在已有的知识基础上得出新的结论，达到温故知新的目的。
使学生理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形，并注意截距式的适用范围，理解截距概念即a,
b的几何意义
习题巩固，提高学生的数学思维能力和解题能力，加深对直线方程两点式的理解和应用
课堂小结
1直线的两点式和截距式方程
两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程＝＋＝1适用范围直线不与坐标轴平行或重合直线不与坐标轴平行、重合且不过原点
2直线的中点坐标公式
已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
且线段
的中点M的坐标为（x,
y）
则
板书
1直线的两点式方程
2直线的截距式方程
3直线的中点坐标公式
4课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
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（共
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