2012中考数学一轮复习 和圆有关的计算

和圆有关的计算
第一部分 讲解部分
（一）课标要求
1.会计算圆的弧长、扇形的面积。
2.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（二）知识要点
1.圆的弧长、扇形面积及圆锥侧面积的计算：
（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式： （指圆心角，指扇形多对应的圆的半径，指扇形弧长，指扇形面积）；
（3）圆锥的侧面积：（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）。
2.圆内正多边形的有关计算:
（1）中心角n ，半径Rn， 边心距rn ，
边长an ，内角n ， 边数n；
（2）有关计算在RtΔAOC中进行.
（三）考点精讲
考点一 ：求弧长
例1 （2010年江苏省苏州市）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于 ．(结果保留根号及)．
分析:本题可以直接根据弧长公式求解。
解: 由格点图可知，扇形OAB的圆心角等于90°，弧AB所在的圆O的半径等于2，根据弧长公式得弧AB的长度是：．
评注：求一条弧的弧长，一般要知道两个量：（1）这条弧所在的圆的半径；（2）这条弧所对的圆心角．
考点二 ：求扇形的面积
例2 （2010年山东省菏泽市）如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°,⊙O经过AB的中点E分别交OA、OB于C、D两点 ，连结CD，且CD=，求扇形OCED的面积．
分析：先求出扇形所在圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求解。
解：连接OE，∵OA=OB，E是AB的中点，∴OE⊥AB. 在△OAB和△OCD中，∠COD=∠AOB, OC=OD, OA=OB, ∴∠OCD=∠OAB,∴CD∥AB. 又∵∠A=30°,∴∠OCD=30°,OE⊥CD,CF=,∠COD=120°,OC==4,S扇形OCED=.
评注：本题利用扇形的面积计算公式解决问题．扇形的面积公式是：，计算扇形的面积，首先要根据已知条件求扇形所在的圆的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可．
考点三 ：圆内正多边形的有关计算
例3（2011年安徽省芜湖市）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为_______。
分析：将平移到直线上就可以先求出正方形对角线AC的长，然后再根据勾股定理求出AB的长，进而求出圆内正方形ABCD的面积，这样问题就得以解决。
解：将平移到直线上，有，从而，圆的半径为，所以阴影部分的面积为
评注：本题用平移的方法来解决实际问题，综合运用了勾股定理、正方形的面积公式、圆的面积公式等知识。
（四）易错点剖析
易错点一 忽视不同的旋转方式出错
例题1 如图，直角三角形的两条直角边分别为3cm、4cm，将它绕一条直角边旋转一周后得到一个圆锥，求这个圆锥的全面积．
解：（1）当绕AC边旋转时，=（cm2），（cm2），所以．
（2）当绕BC边旋转时，=（cm2），（cm2），所以．
易错评析 解答此题最容易受给出图形的影响，习惯上认为只以AC为轴旋转，而忽视以BC边为轴旋转的情形，导致解决问题不全面，不能准确利用分类讨论的思想来解决问题．
易错点二 求阴影部分的面积出错
例题2 如图，在Rt△ABC中，．以点B为旋转中心把△ABC按逆时针旋转，使点C落在AB的延长线上的点处，求AC边扫过的图形（阴影部分）面积．
解： ∵在Rt△ABC中，，
∴，
∴
（）．
易错评析 由于图中阴影部分的面积是一个不规则图形，如果不能正确识别阴影部分的图形的形成过程，从而导致无法解决问题．其实本题的阴影部分面积等于整个图形的面积减去一个三角形（△ABC）面积与一个扇形（扇形）面积．
真题演练
1. （2011广东广州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（ ）
A． eq \f(,3)π B． eq \f(,2)π C．π D．π
2. （2011山东滨州）如图，在△ABC中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为（ ）
A. B. 8cm C. D.
3.（2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A.5π B. 4π C.3π D.2π
4.（2011四川重庆）在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．
5.（2011山东德州）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________．
第二部分 练习部分
1．（2011湖北黄冈）一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.（2011福建泉州）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3 B. 6 C. 5 D. 4
3.（2011湖南常德）已知圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为 ( )
A．48 cm2 B. 48π cm2 C. 120π cm2 D. 60π cm2
4. （2011江苏无锡）已知圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是 ( )
A．20 cm2 B．20π cm2 C．10π cm2 D．5π cm2
5. （2011贵州安顺）在Rt△ABC中，斜边AB =4，∠B= 60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（ ）
A． B． C．π D．
6. （2011四川宜宾）一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是_______．
7. （2011湖南益阳）如图，AB是⊙O的切线，半径OA=2，OB交⊙O于C， B＝30°，则劣弧的长是 ．（结果保留）
8. （2011江苏盐城）如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为 cm．
9. （2011湖南怀化） 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．
★“真题演练”答案★
A【解析】连接OB、OC．因为，所以，那么．又因为BC∥OA，所以，所以．于是劣弧BC的长是．
2．D【解析】由题意知，点A所经过的最短路线是以C点为圆心，AC为半径，圆心角所对的弧长，即．
3．C【解析】圆锥的底面积是，侧面积是，所以圆锥的全面积是．
4．1【解析】由弧长的计算公式，得．
5．【解析】．
★“练习部分”答案★
C【解析】这个几何体是一个母线长为4，底面半径为1的圆锥．它的侧面是一个扇形，面积为．
B【解析】阴影部分的面积等于整个图形的面积减去以AB为直径的半圆的面积，而整个图形的面积等于扇形的面积与以为直径的半圆的面积，因此，阴影部分的面积就等于扇形的面积，即．
D【解析】根据勾股定理，得圆锥的母线上为10cm，又因为圆锥的侧面展开图的扇形弧长是，所以（cm2）．
4.B【解析】因为圆柱的侧面展开图是长为，宽为的长方形，所以（cm2）．
5.B【解析】B点的运动路线是一条弧，此弧长等于以B为圆心，BC长为半径的圆的周长的六分之一，即．
【解析】，，所以．
【解析】因为AB是切线，所以OA⊥AB，即．又因为，所以，所以．
【解析】点E所经过的路线是以A点为圆心，AE为半径的一条圆弧，且此弧所在的圆的圆心角为，所以．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90° ．又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°，∴∠ACB=∠AFO，∴OF∥BC；
证明：由（1）知，∠CAB+∠ABC=90° ．由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90°，∴∠CBE=∠CAB ．又∠AFO=∠BEC，BE=OF，∴△AFO≌△CEB；
解：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E． ∴∠OEC=90°，ＣＥ＝ＣＤ＝在Ｒｔ△ＯＣＥ中，设OE=x，ＯＢ＝５＋x＝ＯＣ，由勾股定理得：ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２，∴（５＋ｘ）２＝，解得．在Ｒｔ△ＯＣＥ中，．∵∠ＣＯＥ为锐角，∴∠OEC=60°．由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：
．
例3题图