(共26张PPT)
2.2.3直线的一般式方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
观察下列直线方程：
直线
l1：y－2＝3(x－1)
直线
l2：y＝3x＋2
直线
l3：
直线
l4：
问题1：上述直线方程的形式分别是什么？
提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？
提示：能．
问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？
提示：能．
新知讲解
思考
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于
x,
y
的二元一次方程表示吗？
2.
任意一个关于
x,
y
的二元一次方程都表示一条直线吗？
新知讲解
思考
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于
x,
y
的二元一次方程表示吗？
任意一条直线
l
，在其上任取一点
①
当直线
l
的斜率为
k
时（此时直线的倾斜角），
方程为
这是关于
x,
y
的二元一次方程.
②
当直线
l
的斜率不存在时，即直线
l
的倾斜角
时，
方程为
这也是关于
x,
y
的二元一次方程
，此时方程中
y
的系数为0
.
综上①②知，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于
x,
y
的二元一次方程表示.
新知讲解
思考
2.
任意一个关于
x,
y
的二元一次方程都表示一条直线吗？
对于任意一个二元一次方程
Ax+By+C=0
(A
,
B不同时为0
)
，
如果能把它化为直线方程的某种形式，
那么我们就可以断定它表示一条直线.
①
当时，
方程
Ax+By+C=0
可变形为
它表示过点
，斜率为
的直线.
②
当时,
方程
Ax+By+C=0
可变形为
它表示过点
，且垂直于x
轴的直线.
由①②知，关于
x,
y
的二元一次方程都表示一条直线.
新知讲解
关于
x,
y
的二元一次方程
Ax+By+C=0
(A
,
B不同时为0
)
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
直线的一般式方程
合作探究
探究
在方程
Ax+By+C=0
中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
①
平行于
x
轴？
②
平行于
y
轴？
③
与x轴重合？
④
与y轴重合？
⑤
经过坐标原点?
合作探究
Ax+By+C=0
（A、B不同时为零）
A
B
C
方程
图形特征
A=0
0
C=0
y=0
x轴
与
x轴平行
B=0
C=0
x=0
y轴
与
y轴平行
C=0
过原点的直线
探究
合作探究
思考：
直线方程的一般式化成另外四种形式需要哪些要求？
提示：
直线方程
Ax+By+C=0
（A、B不同时为零）
化成点斜式和斜截式需要满足条件
化成两点式需要满足条件
化成截距式需要满足条件
课堂练习
例
5
已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：
经过点A（6，-4），斜率为
的直线的点斜式方程是
化为一般式，得
4x+3y-12=0
.
课堂练习
例
6
把直线
l
的一般式方程
x-2y+6=0
化为斜截式，求出直线
l
的斜率以及它在x轴与y
轴上的截距，并画出图形.
分析：
求直线
l
在x轴上的截距，即求直线
l
与x轴交点的横坐标，只要在直线
l
的方程中令y=0即可得
x
的值.
解：
把直线
l
的一般式方程化为斜截式
所以，直线
l
的斜率
，它在
y
轴上的截距是3.
方程
x-2y+6=0
，
令
y=0
，得
x=-6
即直线
l
在x轴上的截距是-6.
直线
l
在x
轴、y
轴的交点分别为
A（-6，0），B（0，3）
过A，B两点作直线，得
l
如图所示
课堂练习
1
根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
（2）斜率为
，且在y轴上的截距为4；
（3）经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；
（4）在x,
y
轴上的截距分别为2，-4.
课堂练习
1
根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
（2）斜率为
，且在y轴上的截距为4；
解：
解：
由直线的点斜式方程可得
y-3=2(x-1)
整理得
2x-y+1=0
所以直线的一般式方程为2x-y+1=0
由直线的斜截式方程可得
得一般式方程为
课堂练习
1
根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
（3）经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；
（4）在x,
y
轴上的截距分别为2，-4.
解：
解：
由直线的两点式方程可得
得一般式方程为
2x-3y-13=0
由直线的截距式方程可得
得一般式方程为
2x-y-4=0
课堂练习
2
设直线
l
的方程为
根据下列条件确定m
的值：
（1）
直线
l
在
x
轴上的截距为-3
.
（2）直线
l
的倾斜角为
.
解：
解：
（1）由题意可得
由可得
由可得
m=3
或
,
所以
.
直线l的斜率
由题意得
所以
所以
课堂练习
3
若kxy-x+6y-3=0表示两条直线，则实数k的值为（
）
A．3
B.
2
C.
1
D.
0
答案
B
解：
因为kxy-x+6y-3=0表示两条直线
所以
kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd
其中
所以
k=ac,
ad=-1,
bc=6,
bd=-3
不妨令d=1,
则
b=-3,
c=-2,
a=-1,
k=2
课堂练习
?4
(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0
与直线l2：mx＋3y－2＝0
平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0
与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
课堂练习
4(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0
与直线l2：mx＋3y－2＝0
平行，求m的值；
解：
法一
由
l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0，
①当m＝0时，显然l1与l2不平行
②当m≠0时，l1∥l2，
需
解得m＝2或m＝－3
∴m的值为2或－3.
法二
令2×3＝m(m＋1)
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，
l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合
∴l1∥l2
同理当m＝2时
l1：2x＋3y＋4＝0，
l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2
∴m的值为2或－3.
课堂练习
4
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0
与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解：
法一
由题意，l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，
直线
l1：3x－1＝0
与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝时，
直线
l1：x＋5y－2＝0与直线
l2：5x－4＝0
不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0,
则直线
l1，l2的斜率
k1，k2
都存在，
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即
()=-1
所以a＝－1
综上可知，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
课堂练习
4
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0
与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解：
法二
由
l1⊥l2
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得
a＝±1
将
a＝±1代入方程，均满足题意
故当
a＝1
或
a＝－1时，直线
l1⊥l2
课堂练习
5
已知直线
l
的方程为x-y+b=0
则直线
l
的倾斜角为______.
解：
因为直线
l
的方程为x-y+b=0
所以其斜率为1，即
(为倾斜角)
由
知
课堂总结
直线方程的几种形式
直线名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率为k,
点
斜率存在
斜截式
斜率k,与y轴的交点
y=kx+b
两
点
式
一般情况
直线l上两点
直线l不与坐标轴平行或重合
截距式
直线l
在x
轴，y
轴的截距分别为a和b
()
直线l不与坐标轴平行或重合且不过原点
一般式
常数A，B，C，
Ax+By+C=0
任何情况
板书设计
1直线方程的一般式
Ax+By+C=0
2
二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
3直线方程的几种形式、特点及适用范围
作业布置
课本67页习题2.2
8，10，
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2.2.3直线的一般式方程教学设计
课题
直线的一般式方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.
教学
目标与
核心素养
教学目标
1理解直线方程的一般形式，掌握直线方程五种形式之间的互化.
2
理解直线与二元一次方程的对应关系，理解直线方程的一般式的特点
核心素养
1通过学习直线的一般式方程，
培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想
2
提高学生多向思维能力和科学严谨的学习态度，并树立事物在一定条件下转化的辩证观点
重点
直线方程的一般形式及直线方程五种形式之间的互化.
难点
直线与二元一次方程的对应关系
.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提出问题
观察下列直线方程：
直线l1：y－2＝3(x－1)；
直线l2：y＝3x＋2；
直线l3：＝；
直线l4：＋＝1.
问题1：上述直线方程的形式分别是什么？
提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？
提示：能．
问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？
提示：能．
问题导入
学生思考并作答
复习旧知识，为新知识的引入做好准备，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到，都是二元一次方程
讲授新课
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于
x,
y
的二元一次方程.
直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.
思考
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于
x,
y
的二元一次方程表示吗？
任意一个关于
x,
y
的二元一次方程都表示一条直线吗？
先看问题（1）.
任意一条直线
l
，在其上任取一点
，当直线
l
的斜率为
k
时（此时直线的倾斜角），其方程为
这是关于
x,
y
的二元一次方程.
当直线
l
的斜率不存在时，即直线
l
的倾斜角
时，其方程为
上述方程可以认为是关于
x,
y
的二元一次方程
，因为此时方程中的
y
的系数为0
.
方程
和
都是关于
x,
y
的二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个是关于
x,
y
的二元一次方程表示.
反之，对于任意一个二元一次方程
Ax+By+C=0
(A
,
B不同时为0
)
，
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当时，方程
Ax+By+C=0
可变形为
它表示过点
，斜率为
的直线.
当时，
方程Ax+By+C=0可变形为
，
它表示过点
，且垂直于x
轴的直线.
由上可知，关于
x,
y
的二元一次方程都表示一条直线.
我们把关于
x,
y
的二元一次方程
Ax+By+C=0
(A
,
B不同时为0
)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
探究
在方程
Ax+By+C=0
中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
①平行于
x
轴？
②平行于
y
轴？
③与x轴重合？
④与y轴重合？
⑤经过坐标原点？
Ax+By+C=0
（A、B不同时为零）ABC方程图形特征A=00C=0y=0x轴与
x轴
平行B=0C=0x=0y轴与
y轴
平行C=0过原点的直线
思考：
直线方程的一般式化成另外四种形式需要哪些要求？
提示：
直线方程
Ax+By+C=0
（A、B不同时为零）
化成点斜式和斜截式需要满足条件
，
化成两点式需要满足条件
，
化成截距式需要满足条件
.
例
5
已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
解：
经过点A（6，-4），斜率为
的直线的点斜式方程是
,
化为一般式，得
4x+3y-12=0
.
例
6
把直线
l
的一般式方程
x-2y+6=0
化为斜截式，求出直线
l
的斜率以及它在x轴与y
轴上的截距，并画出图形.
分析：求直线
l
在x轴上的截距，即求直线
l
与x轴交点的横坐标，只要在直线
l
的方程中令y=0即可得
x
的值.
解：把直线
l
的一般式方程化为斜截式
因此，直线l
的斜率
，它在y
轴上的截距是3.
在直线
l
的方程
x-2y+6=0
中，令
y=0
，得
x=-6
即直线
l
在x轴上的截距是-6.
由上面可得直线
l
在x轴、y
轴的交点分别为
A（-6，0），B（0，3），
过A，B两点作直线，就得直线
l
.
如图所示
结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线.
在代数中，我们研究了二元一次方程的解，因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡尔的伟大贡献.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.
课堂练习：
1
根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
斜率为
，且在y轴上的截距为4；
经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；
在x,
y轴上的截距分别为2，-4.
解：（1）由直线的点斜式方程可得
y-3=2(x-1)
整理得2x-y+1=0,
所以直线的一般式方程为2x-y+1=0.
(2)
由直线的斜截式方程可得
整理得一般式方程为
(3)由直线的两点式方程可得
整理得一般式方程为
2x-3y-13=0
(4)
由直线的截距式方程可得
整理得一般式方程为
2x-y-4=0
2
设直线l的方程为
根据下列条件确定m
的值：
（1）
直线l在x轴上的截距为-3
.
（2）直线l的倾斜角为
.
解：
（1）由题意可得
由可得
由可得
m=3
或
,
所以
.
（2）
直线l的斜率
由题意可得
所以
所以
.
注：
把直线方程的一般式
Ax+By+C=0化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是B=0时，斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式。
要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化，在求直线方程时，并不一定要设一般式，根据题目条件选择恰当的形式，但最终结果一般要用一般式方程来表示.
3
若kxy-x+6y-3=0表示两条直线，则实数k的值为（
）
A．3
B.
2
C.
1
D.
0
答案
B
解：
因为kxy-x+6y-3=0表示两条直线
所以
kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd
其中
所以
k=ac,
ad=-1,
bc=6,
bd=-3
不妨令d=1,
则
b=-3,
c=-2,
a=-1,
k=2
4
(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与
直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解：(1)法一：
由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0，
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，
需＝≠.
解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.
法二：
令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2，
∴m的值为2或－3.
(2)法一：
由题意，l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，
直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，所以a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.
法二：
由l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
规律：
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
5
已知直线l
的方程为x-y+b=0
则直线l的倾斜角为______.
答案：
解：
因为直线
l
的方程为x-y+b=0
所以其斜率为1，即
(为倾斜角)
由
知
启发学生探究
分类讨论时，常按
和
分类，这样可以做到不重不漏
使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
使学生理解直线与二元一次方程的关系
引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合、与y轴平行和重合的直线的形式。然后由形式自主探索得到问题的答案
板书：同一坐标系下的各种特殊直线
Ax+By+C=0
（A、B不同时为零）
简单解释为什么A、B不同时为0？
习题巩固
课堂小结
直线方程的几种形式
直线名称条件方程适用范围点斜式点
斜率为k斜率存在斜截式斜率k
与y轴的交点
y=kx+b两
点
式一般情况直线l上两点
直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l
在x
轴，y
轴的截距分别为a和b
()直线l不与坐标轴平行或重合且不过原点一般式常数A，B，C，
Ax+By+C=0
任何情况
板书
1直线方程的一般式
Ax+By+C=0
2
二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
3直线方程的几种形式、特点及适用范围
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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