向量的加法与减法（2）
一、选择题
1．给出下列3个向量等式：（1）；（2）；（3）。其中正确的等式有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．给出下列4个命题：
（1）若，则；（2）若，则；
（3）； （4）
其中正确的命题是
A．（1）（4） B．（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）
3．设表示向西走，表示向北走，则表示
A．向南偏西走 B．向北偏西走
C．向南偏东走 D．向北偏东走
4．在下列各命题中，正确命题的个数为
（1）若向量与方向相反，且，则与方向相同；
（2）若向量与方向相反，且，则与方向相同；
（3）若向量与方向相同，且，则与的方向相反；
（4）若向量与方向相同，且，则与的方向相同。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．已知外一点，是的对角线交点，则 。
6．已知向量、的模分别为3、4，则的取值范围为 。
7．若，且，则 。
8．设平面内有四边形和点，，若，则四边形的形状是 。
三、解答题
9．化简下列各式：
（1）； （2）。
10．在平行四边形中，分别为的中点，已知，试用表示和。
11．已知、，求证：。
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．A
4．C
二、填空题
5．
6．
7．
8．平行四边形
三、解答题
9．（1） （2）
10．
11．分不共线、同向、反向进行证明即可。线段的定比分点
一、选择题
1．已知点A分有向线段的比为2，则下列结论中错误的是
A．点C分的比为 B．点C分的比为
C．点B分的比为 D．点A分的比为
2．已知两点，点分有向线段的比为，则和的值分别为
A． B． C． D．
3．已知三点共线，则的值为
A． B． C． D．
4．已知平面上有三个点，又有一点C在上，使，连结DC，并延长至E，使，则E点的坐标为
A． B．或 C． D．
二、填空题
5．已知两点，点P是线段AB延长线上的一点，且，则点P的坐标为 。
6．已知三点共线，且，则 。
7．在中，已知，其对角线的交点为，则点的坐标分别是 。
8．设，若轴上有一点，使得最大，则此时点的坐标为 。
三、解答题
9．已知点，一次函数的图像与线段有公共点，求实数的取值范围。
10．在中，，求BC边上的中线AD及的平分线AT的长。
11．已知点，P在线段内，且，求点P的坐标和的值。
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．C
二、填空题
5．
6．
7．
8．
三、解答题
9．
10．
11．平面向量的坐标运算（2）
一、选择题
1．已知点B的坐标，的坐标，则点A的坐标为
A． B．
C． D．
2．已知，，若与平行，则等于
A．1 B． C． D．
3．已知A，B，C三点共线，且，点C的横坐标为6，则C点的纵坐标为
A． B． C． D．
4．已知，，，且，则等于
A． B． C． D．
二、填空题
5．若，与共线且方向相同，则 。
6．已知，，则与的关系为 。
7．已知，且，则的坐标为 ，点的坐标为 。
8．已知向量，则与同方向的单位向量 。
三、解答题
9．已知，，且，求实数的值。
10．，，当实数为何值时，与平行？
11．已知，，当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．C
4．D
二、填空题
5．
6．
7．
8．
三、解答题
9．
10．
11．，反向平面向量的坐标运算（1）
一、选择题
1．与向量平行的向量是
A． B． C． D．
2．若，则的坐标为
A． B． C． D．
3．已知与同向的单位向量的坐标是
A． B． C． D．
4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别是，则第四个顶点的坐标是
A．或 B．或
C．或 D． 或或
二、填空题
5．若向量与的方向相反，则 。
6．已知，则 。
7．已知，则线段AB的中点坐标是 。
8．已知，则 ， 。
三、解答题
9．已知，，，试用、表示。
10．已知点及，求点和的坐标。
11．在中，分别是的中点，是的中点，与交于点，求。
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．D
4．D
二、填空题
5．
6．
7．
8．
三、解答题
9．
10．
11．平面向量章未小结
一、选择题
1．在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则等于
A． B． C． D．
2．设单位向量的夹角为，则向量与的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
3．已知点，点分的比为，则点的坐标为
A． B． C． D．
4．已知的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为
A．15 B． C．14 D． 16
二、填空题
5．已知，且，则 。
6．已知，则 。
7．当 时，向量与共线且方向相同。
8．给出下列命题：
若，则；
若是三个非零向量，，则；
在中，，则；
与是共线向量
其中真命题的序号是 。
三、解答题
9．设向量。
（1）求；
（2）求的最小值。
10．已知平面四边形ABCD，求证：的充要条件是。
11．已知向量，令，求函数的最大值、最小正周期，并写出在上的单调区间。
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．D
4．A
二、填空题
5．
6．或4
7． 2
8．
三、解答题
9．（1） （2）当时，
10．用向量进行即可。
11．
；；增区间为，减区间和实数与向量的积（2）
一、选择题
1．、是一组基底，则下面向量组中、共线的有
①，； ②，；
③，； ④，
A．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
2．已知和是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是
A．和 B．和 C．和 D．和
3．在中，D是BC上一点，且，则等于
A． B．
C． D．
4． 给出下列结论：（1）；（2）；（3）；
（4）（，、是任意向量）其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D． 4
二、填空题
5．在中，点D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，那么 。
6．若、、是已知向量，且，则 。
7．若，，其中、为已知向量，则 ， 。
8．已知、是非零向量，且，则当时，的最小值为 。
三、解答题
9．设、是两个不共线的向量，已知，，，若三点共线，求的值。
10．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设，。
（1）以为基底表示； （2）以为基底表示。
11．设向量、不共线，向量，且、、有共同的起点，试证：向量、、的终点在一条直线上的充要条件是。
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．C
二、填空题
5．
6．
7．
8．
三、解答题
9．
10．（1） （2）
11．略向量
一、选择题
1．以下关于零向量的叙述中错误的是（ ）
A．零向量是长度为零的向量 B．零向量与任一向量平行
C． D．零向量的方向是任意的
2．以下命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与不是共线向量
3．设是正△ABC的中心，则向量、、是： （ ）
A．有相同起点的向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若向量与不共线，则与都是非零向量 B．有相同起点的两个非零向量不平行
C．若与共线，与共线，则与也共线
D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点。
5．有下列物理量质量；速度；位移；力；加速度；路程；刻度；功，其中不能称为向量的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若命题，命题，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
7．四边形ABCD满足且，则四边形ABCD是 。
8．在正六边形ABCDEF中，O为中心。
（1）与相等的向量有： ；（2）与共线的向量有：
（3）与的模相等的向量有：
9．已知是两个非零向量，且与不共线，若非零向量与共线，则与必定
。（填共线、不共线或相等）
10．已知为不共线的非零向量，且存在向量，使，则 。
三、解答题
11．如图是的矩阵（每个小方格都是单位正方形），试问：起点和终点都在方格的顶点处且与向量相等的向量共有几个？与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为的向量共有几个？。
12．设在平面内给定了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：。
13．一架飞机从A点向西北飞行到达B点，再从B点向东飞行到达C点，再从C点向南偏东飞行到达D点，求飞机从D点飞回A点的位移。
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．C
4．A
5．D
6．A
二、填空题
7．矩形
8．（1） （2）
（3）
9．不共线
10．
三、解答题
11．（1）共有7个（不包括本身）；（2）共有30个； （3）共有3个。
12．略
13．从D点到A点的位移是：方向为南偏西，长度为。
A
B向量
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知正方形ABCD的边长为1，，则的模等于（ ）
A．0 B．3 C． D．
3．如图所示，D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是：（ ）
A． B．
C． D．
4．若均为非零向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，，则的值为 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．设是△ABC内一点，，则是△ABC的 （ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
二、填空题
7．已知向量满足且，则 。
8．已知的模分别为1、2、3，则的最大值为
9． 。
10．若向量的方向相反，且，则的方向 。
三、解答题
11．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且。 求证：四边形ABCD是平行四边形。
12．如图，在重的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为和，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小。
13．一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流速的夹角表示）。
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．A
5．B
6．D
二、填空题
7．1
8．6
9．
10．相反
三、解答题
11．略
12．与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是
13．船实际航行的速度大小为，方向为与流速的夹角为。
A
B
E
C
F
D
300N实数与向量的积（1）
一、选择题
1．已知，则在以下各命题中，正确的命题的个数是
①时，与的方向一定相反；
②时，与是共线向量；
③时，与的方向一定相同；
④若与是不共线的两个向量，则与也一定不共线。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．化简的结果为
A． B． C． D．
3．若AD与BE分别为的边BC、AC上的中线，且，则为
A． B． C． D．
4．已知命题，命题，则命题是命题的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
5．若，与的方向相反，且，则 。
6．若，则 。
7．已知、是不共线向量，，，且、共线，则 。
8．若点C在线段AB上，且，则 。
三、解答题
9．求证：起点相同的三个非零向量、、的终点在同一条直线上。
10．已知分别为的边BC、CA、AB上的点，，若，求证：。
11．在的边OA、OB上分别有一点。已知，连结AQ，在AQ上取一点R，满足。
（1）用表示； （2）求证：点R在线段BP上。
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．B
4．A
二、填空题
5．
6．
7．
8．
三、解答题
9．略
10．略
11．（1） （2）略平移
一、选择题
1．按向量将点平移到点，的坐标为，则向量为
A． B． C． D．
2．若把一个函数的图像按平移后得到函数的图像，则原图像的函数解析式为
A． B．
C． D．
3．把函数的图像按向量平移到，则对应的函数解析式为
A． B． C． D．
4．为了得到的图像，可以把函数的图像按向量进行平移，则等于
A． B． C． D．
二、填空题
5．一个向量把点平移到，则可把点平移到 。
6．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则 。
7．若函数的图像按向量平移后关于原点中心对称，则 。
8．将函数图像上的一点平移后变为，则此函数图像按上述平移得到的新解析式为 。
三、解答题
9．将方程的图像按平移后得到的图像的方程为，试求向量。
10．将抛物线按向量平移后，抛物线的顶点在轴上，且在轴上的截得的弦长为2，求平移后的抛物线的解析式及向量的坐标。
11．将函数的图像进行平移，使得到的图形与函数的图像的两个交点关于原点对称，求平移后函数的解析式。
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．A
4．D
二、填空题
5．
6．
7．
8．
三、解答题
9．
10．；
11．平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．已知，则与的夹角为
A． B． C． D．
2．已知，若，则等于
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知，且，则的值为
A． B． C． D．
4．若，则与垂直的向量为
A． B． C． D．
二、填空题
5．若，则 。
6．已知向量，则的最大值是 。
7．若，则等于 。
8．若，则 。
三、解答题
9．已知向量，且，求。
10．已知，若，垂足为，求点的坐标。
11．已知，且与满足关系式。
（1）将与的数量积用表示出来；
（2）求的最小值及此时与所成的角。
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．B
二、填空题
5．
6．4
7．
8．
三、解答题
9．
10．
11．（1） （2）的最小值为，此时平面向量数量积及其运算律（2）
一、选择题
1．已知，，，则与的夹角的余弦值是
A． B． C． D．
2．下列各命题中正确的是
A． B．
C．，则 D．，则
3．已知，，与的夹角为，那么向量的模为
A．12 B．6 C．2 D．
4．已知向量、满足，则等于
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
5．若，，与的夹角为，且与垂直，则 。
6．若向量和的夹角为，且，，则 。
7．已知，则的面积为 。
8．若，且在单位向量方向上的投影为，则与的夹角为 。
三、解答题
9．已知，，，，求的值。
10．已知，，、的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求的取值范围。
11．已知、是两个不共线的向量，。
（1）求证：与垂直；
（2）若，且，求的值。
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．C
二、填空题
5．2
6．13
7．
8．
三、解答题
9．
10．
11．（1）略 （2）平面向量数量积及其运算律（1）
一、选择题
1．已知，，与的夹角是，则等于
A． B． C． D．
2．已知，则下列计算中正确的是
A．向量的坐标为 B．向量的坐标为
C．向量的坐标为 D．向量的坐标为
3．设，，，则与的夹角为
A． B． C． D．
4．若，则与 的夹角的范围是
A． B． C． D．
二、填空题
5．若向量与的方向相反，则 。
6．设，与的夹角为，则 。
7．在中，已知，且，则这个三角形的形状是 。
8．已知，，与的夹角为，则 。
三、解答题
9．已知，，且，求。
10．已知，，。
（1）求与的夹角； （2）和。
11．在四边形ABCD中，，且，判断四边形ABCD是什么图形。
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．D
二、填空题
5．
6．
7． 等边三角形
8．
三、解答题
9．或
10．（1） （2）
11．四边形ABCD为矩形
