丰台区高二年级第二学期期末考试数学
参考答案及评分参考2021．07
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
C
C
B
A
A
B
D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．
12．
13．（答案不唯一）
14．
15．
（注：14、15题第一空3分，第二空2分）
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.
（本小题13分）
解：方法一：
（Ⅰ）由二项式定理，得
.
①
因为，
②
所以.
………………
9分
（Ⅱ）由①②可得.
所以.
………………
13分
方法二：
（Ⅰ）因为，
令，解得.
………………
9分
（Ⅱ）令，则，
所以.
①
令，则，
所以.
②
由①②，可得.
………………
13分
17.
（本小题14分）
解：（Ⅰ）设“甲恰有两轮获胜”为事件，则
.
………………
5分
（Ⅱ）设“选中甲与机器人比赛”为事件
，“选中乙与机器人比赛”为事件
，“战胜机器人”为事件，根据题意得
,，.
由全概率公式得
.
所以战胜机器人的概率为.
………………
14分
18.
（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以.
因为在处取得极值，
所以，即，解得.
经检验，符合题意.
………………
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
所以.
令，得或；
令，得.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
所以的极大值为，极小值为.
又，，
所以.
所以的最大值为76，最小值为.
………………
14分
19.
（本小题14分）
解：（Ⅰ）西部地区共有12个省份，其中2020年15岁及以上人口平均受教育年限比
2010年至少增加1年的有6个.
设“选取的省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年”为事件，
则.
………………
3分（Ⅱ）东部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2
个，西部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有6个，共8个.
则的可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以的分布列为
.
………………10分
（Ⅲ），.
………………14分
20.
（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以.
当时，，所以在上单调递增.
当时，令，得；令，得.
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
……
5分
（Ⅱ）方法一：
由（Ⅰ）知.
因为，所以.
当时，.
所以在区间上单调递增.
于是，所以符合题意.
当时，令，得；令，得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以，解得.
综上，的取值范围是．
………………15分
方法二：
对，，即.
设，则.
令，得；令，得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，于是.
故的取值范围是．
………………15分
21.
（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，.
因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
………………
5分
（Ⅱ）因为，，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得；令，得.
所以，．
设，,则.
令，得；令，得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
于是当时，有最小值为，故有最小值为．
………15分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
丰台区高二数学第二学期期末考试参考答案
1
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3丰台区2020—2021学年度第二学期期末练习
高二数学
2021.07
第一部分
（选择题
共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2．命题“”的否定是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．下列两个变量具有相关关系的是
（A）正方体的体积与棱长
（B）汽车匀速行驶时的路程与时间
（C）人的体重与饭量
（D）人的身高与视力
4．若，则下列不等式中一定成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
5．
一箱产品中有8件正品和2件次品.每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回.已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为
(A)
(B)
(C)
(D)
6.
若，则函数的最小值为
(A)
(B)
(C)
(D)
7.
在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是
(A)
(B)
(C)
(D)
8．已知，则“”是“”的
(A)
充分而不必要条件
(B)
必要而不充分条件
(C)
充分必要条件
(D)
既不充分也不必要条件
9．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为
(A)
(B)
(C)
(D)
10．已知函数的定义域为,其部分自变量与函数值的对应情况如下表：
-1
0
2
4
5
3
1
2.5
1
3
的导函数的图象如图所示.给出下列四个结论：
①
在区间上单调递增；
②
有个极大值点；
③
的值域为；
④
如果时,
的最小值是,
那么的最大值为.
其中，所有正确结论的序号是
(A)
③
(B)
①④
(C)
②③
(D)
③④
第二部分
（非选择题
共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．函数的定义域为__．
12．为迎接中国共产党建党100周年，某校开展“学史明理、学史崇德、学史力行”活动.由位思政教师组成宣讲团，面向高中三个年级的学生进行党史宣讲.
若要求高一年级安排2位教师，高二、高三年级各安排1位教师，则不同的安排方案种数为__．（结果用数字作答）
13．能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数
的值依次为
__．
14．已知函数，若，则的零点个数为__；若有两个不同的零点，则的取值范围是__．
15．算筹
(?https:?/??/?baike.?/?item?/?%E7%AE%97%E7%AD%B9"
\t
"_blank?)是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明.
在算筹计数法
(?https:?/??/?baike.?/?item?/?%E8%AE%A1%E6%95%B0%E6%B3%95"
\t
"_blank?)中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：
用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式
(?https:?/??/?baike.?/?item?/?%E6%A8%AA%E5%BC%8F"
\t
"_blank?)，百位用纵式，千位用横式，以
此类推，遇零则置空，则“
”表示的三位数为
；如果把5根算筹以适当
的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为
.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题共13分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
17.（本小题共14分）
甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.
在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为.
（Ⅰ）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；
（Ⅱ）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率.
18.（本小题共14分）
已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
19.（本小题共14分）
第七次全国人口普查公报显示，自2010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著.下面两表分别列出了2010年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据.
（Ⅰ）从东部地区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率；
（Ⅱ）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为，试比较与的大小.（只需写出结论）
20.（本小题共15分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）对，都有恒成立，求的取值范围．
21.（本小题共15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，求的最小值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区高二数学期末考试试题
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