克拉玛依市第一中学2018级高二下学期期末考试题
考试时间：120分钟
一、单选题(每题5分，共60分)
1．如果（i表示虚数单位），那么z的虚部为（
）
A．1
B．
C．i
D．
2．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题，命题的最小正周期为π，则以下是真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有,且当时,,则的值为(
)
A．－1
B．－2
C．2
D．1
5．已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（
）
A．120种
B．48种
C．36种
D．18种
7．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（
）
附参考数值：，，
A．2655万元
B．2970万元
C．3005万元
D．3040万元
8．已知的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知：若三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．在圆内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为
（
）
A．
B．
C．
D．
10．函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（
）.
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
11．已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，O是坐标系原点，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，若四边形OMFN是菱形，则C的离心率为（
）
A．3
B．2
C．
D．
12．已知实数a，b，c满足，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题(每题5分，共20分)
13．抛物线上的一点到其焦点的距离___________.
14．已知，若，则___________.
15．已知数列的通项公式，为其前项的和，则________.
16．如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则下列四个结论中成立的是________．（写出对应的序号）
①平面；
②；
③；
④长方体的外接球表面积为．
三、解答题(17----21题为必做题，每题12分，共60分；22、23题为选做题，任选其中一道做在答卷纸上，并把相应的题号涂黑，如果都做，按先做的那道题计分，共10分)
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求A；
（2）若，，求b的值.
18．某公司共有员工1500人，其中学历为本科的员工1050人，学历为专科的员工450人。为调查该公司2019年个人收人情况，从而更好地实施工资改革工作，采用分层抽样的方法，收集了150名员工2019年收入的样本数据(单位∶万元).
（1）应收集多少个学历为专科员工的样本数据？
（2）根据这150个样本数据.得到2019年收入的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为，如果将频率视为概率，估计该公司员工2019年个人收入超过15万元的概率；
（3）样本数据中，有5个学历为专科的员工年收入超过20万元，请完成2019年员工年收入与学历水平的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该公司2019年员工年收入与学历有关”.
年收人超过20万
年收人不超过20万
总计
本科
专科
5
总计
附∶
19．如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．已知函数的一个极值点是．
（1）当时，求b的值，并求的单调增区间；
（2）设，若，使得成立，求实数a的范围．
21．已知A?B分别为椭圆E∶的右顶点和上顶点?椭圆的离心率为，F1?F2为椭圆的左?右焦点，点P是线段AB上任意一点，且的最小值为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆E的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
注意：以下为选做题，如果都做，只把第一道题的得分计入总分
22．在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与、的公共点分别为和，且，求的面积．
23．(本题10分)已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．克拉玛依市第一中学2018级高二下学期期末考试题答案
1．(本题5分)如果（i表示虚数单位），那么z的虚部为（
）
A．1
B．
C．i
D．
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断；
解：因为，所以，故的虚部为，故选：B
2．(本题5分)已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】化简集合、，然后根据交集的定义求解即可.
因为，，
所以.故选：A
3．(本题5分)已知命题，命题的最小正周期为π，则以下是真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分析p?q的真假，由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案.
解：根据题意，命题，是真命题；
命题，其最小正周期为，则q是假命题；
故是真命题，都是假命题；故选：D.
4．(本题5分)已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为( )
A．－1
B．－2
C．2
D．1
【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可．
因为f（x）是奇函数，且周期为2，所以
f（﹣2
017）+f（2
018）=﹣f（2
017）+f（2
018）=﹣f（1）+f（0）．
当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2
017）+f（2
018）=﹣1+0=﹣1．故选：A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．
5．(本题5分)已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】取中点，连接，可得即为异面直线与成角，即可求解.
取中点，连接，为，中点，，
即为异面直线与成角，
设正四面体棱长为2，则,
.故选：A.
6．(本题5分)国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（
）
A．120种
B．48种
C．36种
D．18种
【分析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.
先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，
另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；
再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.
故选：C.
7．(本题5分)2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（
）
A．2655万元
B．2970万元
C．3005万元
D．3040万元
【分析】根据年每年的投资额成等差数列、年每年的投资额成等比数列，利用等差和等比数列求和公式即可求得结果.
【详解】
年每年的投资额成等差数列，首项为，公差为，
则年的投资总额为：（万元），
年的投资额为：（万元）
年每年的投资额成等比数列，首项为，公比为，
则年的投资总额为：（万元）；
年的投资总额约为（万元）
故选：C.
8．(本题5分)已知的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知：若三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由三角形类比三棱锥，则三角形的面积类比三棱锥的体积，由内切圆类比内切球，可得出结论.
【详解】的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，
由等面积法可得，.
类比这个结论：
三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，由等体积法可得，.
故选：C.
【点睛】
易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：
①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；
②找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
9．(本题5分)在圆内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆的面积，最后根据几何概型公式求解即可.
【详解】根据不等式组，如图做出点P的可行域:
由图可知：点P的可行域为等腰三角形，所以,
圆的面积为，
由几何概型可知，圆内随机取一点P，则点P落在不等式组表示的区域内的概率为：,
故选：C
【点睛】
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
10．(本题5分)函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（
）.
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【分析】根据函数在轴上的截距可知，利用函数的单调性可知导函数的零点，根据根与系数关系即可求解.
【详解】∵函数的图像在轴上的截距为正值，∴，
∵，且函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，∴的解集为，∴，又、均为正数，
∴，，可得，，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.
11．(本题5分)已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，O是坐标系原点，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，若四边形OMFN是菱形，则C的离心率为（
）
A．3
B．2
C．
D．
【分析】由题意分析，四边形OMFN是菱形，得到，即可求出离心率.
【详解】已知双曲线C：的右顶点为，右焦点为，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，因为四边形OMFN是菱形，所以OF与MN垂直平分，即A为FO的中点，所以，即离心率.
故选：B
【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．
12．(本题5分)已知实数a，b，c满足，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由经典不等式可得，得出，结合即可判断.
【详解】
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，即，
所以，所以，即，
又，所以，由，所以，
所以，即，所以，所以.故选：A.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式可得.
13．(本题5分)抛物线上的一点到其焦点的距离___________.
【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义可求得.
【详解】将点的坐标代入抛物线方程得，所以抛物线的标准方程为，
抛物线的准线方程为，因此，.
故答案为：.
14．(本题5分)已知，若，则___________.
【解析】由得，由=（5,5）
得.
故答案为.
15．(本题5分)已知数列的通项公式，为其前项的和，则________.
【分析】根据数列的通项公式，利用裂项相消法求解.
【详解】因为数列的通项公式，
所以，
故答案为：
16．(本题5分)如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则下列四个结论中成立的是________．（写出对应的序号）
①平面；
②；
③；
④长方体的外接球表面积为．
【分析】由长方体的结构特征，可证得平面AB1D1//平面BC1D，即可判断①；通过相关计算可判断②③④，从而得解.
【详解】连接BD，BC1，B1D1，AB1，如图：
由长方体的结构特征知，对角面BDD1B1是矩形，即BD//B1D1，B1D1平面BC1D，BD平面BC1D，于是B1D1//平面BC1D，
同理AD1//平面BC1D，而B1D1AD1=
D1，B1D1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，
平面AB1D1//平面BC1D，而平面，平面，故①正确；
中，，由余弦定理得，故②正确；
中，，故，故③错误；
长方体外接球半径为，则，则，
则该长方体的外接球的表面积为，故④正确，
综上，正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④
【点睛】结论点睛：长方体的体对角线是该长方体外接球的直径.
17．(本题12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求A；（2）若，，求b的值.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2），所以.
【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，其中求解第一问时，常用的方法是将已知的角和边的关系利用正弦定理进行转化，就是常说的“角化边”和“边化角”，属于常考题.
18．(本题12分)某公司共有员工1500人，其中学历为本科的员工1050人，学历为专科的员工450人为调查该公司2019年个人收人情况，从而更好地实施工资改革工作，采用分层抽样的方法，收集了150名员工2019年收入的样本数据(单位∶万元).
（1）应收集多少个学历为专科员工的样本数据？
（2）根据这150个样本数据.得到2019年收入的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为，如果将频率视为概率，估计该公司2019年个人收入超过15万元的概率，
（3）样本数据中，有5个学历为专科的员工年收入超过20万元，请完成2019年员工年收入与学历水平的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该公司2019年员工年收入与学历有关”.
年收人超过20万
年收人不超过20万
总计
本科
专科
5
总计
附∶
【分析】（1）1500人中搜集150人的信息，故被抽取的概率为0.1，故应收集450×0.1=45个专科学历员工的样本数据；
（2）频率分布直方图的长方形面积即为对应区间的概率，即可得出答案；
（3）通过年收入超过20万元的人数，有5个学历为专科的员工，即可得出各部分的数据，进行求解.
【详解】
（1）由已知可得每位员工被抽取的概率为0.1，故应收集450×0.1=45个专科学历员工的样本数据
（2）由直方图可知该公司2019年员工年收入超过15万元的概率约为(0.050+0.030+0.010)×5=0.45.
（3）样本数据中，年收入超过20万元的人数为(0.030+0.010)×5×150=30，而样本数据中，有5位学历为专科的员工的年收入超过20万元，故列联表如下∶
超过20万元
不超过20万元
总计
本科
25
80
105
专科
5
40
45
总计
30
120
150
所以K2的观测值为
所以有90%的把握认为“该公司2019年员工的年收入与学历有关”.
【点睛】对频率分布直方图，分层抽样，
都要数量掌握，特别是表格和计算数据的准确性.
19．(本题12分)如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【分析】
（1）设与交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理可证平面；
（2）先证明，，两两垂直，以为坐标原点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
用向量法进行计算.
【详解】（1）直三棱柱中，设与交于点，连接，四边形是矩形，则为的中点，
因是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.
（2）直三棱柱中，平面，
因为平面，平面，所以，
取的中点，连接，则，所以，
因为平面，平面，，所以平面，所以平面
在等边三角形中，是的中点，所以，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，，
从而，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，则，
同理可求得平面的一个法向量，
所以，由图示，可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值是.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
20．(本题12分)已知函数的一个极值点是．
（Ⅰ）当时，求b的值，并求的单调增区间；
（Ⅱ）设，若，使得成立，求实数a的范围．
【分析】
（Ⅰ）求出函数导数，可得，即可解得，令即可求得单调递增区间；
（Ⅱ）求出函数导数，由题可得出且，根据导数得出函数的单调性，可求得的最大值，即可求得的范围.
【详解】（Ⅰ）当时，，
的一个极值点是，则，即，解得，
此时由解得，
所以，的单调增区间为；
（Ⅱ），是极值点，
则，解得且，
因为，因此由知在单调递增，在单调递减，
，
则由题可得，解得，.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是得出且，，从而判断出的单调性.
21．(本题12分)已知A?B分别为椭圆E∶的右顶点和上顶点?椭圆的离心率为，F1?F2为椭圆的左?右焦点，点P是线段AB上任意一点，且的最小值为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆E的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【分析】
（1）由椭圆的离心率为，得，进而可得，写出椭圆的方程为，再由最小值为，解得，，进而可得椭圆的方程．
（2）直线的方程为，即，设，，，，，，
联立直线与椭圆的方程，则，化简得，写出直线，的方程，由两切线都经过点，，则直线的方程为，结合，求得直线GH的方程，即可得出答案．
解∶（1）由.知，，则椭圆方程为，
设，线段AB的方程为
则，
又因为，所以的最小值为，解得a2=9，所以，故椭圆E的方程为.
（2）由题意可知，直线l的方程为，即，
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，.
，化简得
所以，因为方程只有一解，
所以，故直线MG的方程为，化简得，
同理可得直线MH的方程为，
又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以
所以直线GH的方程为，
又因为，所以直线GH的方程为，.
令，得所以直线GH恒过定点.
【点睛】
方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：①
可设出曲线方程
，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).
②
从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
22．(本题10分)在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与、的公共点分别为、，且，求的面积．
【分析】（1）将曲线的方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可求得直线和曲线的极坐标方程；
（2）设点、的极坐标分别为、，由已知条件求出的值，可得出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积．
【详解】（1）因为直线的普通方程为，故直线的极坐标方程为.
曲线的参数方程可化为，化为普通方程即为，即，
所以，曲线的极坐标方程为，即；
（2）设点、的极坐标分别为、，
由题意可得，，则，可得，
，则，则，
因为点的极坐标为，故.
方法点睛：在已知普通方程求曲线交点、距离、线段长以及面积等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较麻烦，可将普通方程转化为极坐标方程解决．
23．(本题10分)已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．
【分析】
(1)按绝对值的零点把实数集分成三段，再分段去绝对值符号转化为一元一次不等式组求解，最后求并集而得；
(2)利用绝对值的三角不等式求出t值，再由柯西不等式即可作答.
【详解】
（1）由，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上得，所以不等式的解集为；
（2）因，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为8，即，，而，，为正实数，
则，当且仅当时取“=”，
由得，所以时的最小值为
【点睛】
方法点睛：绝对值不等式的解法：
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
12
11
