正弦定理

课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
教学目标
知识与技能：掌握正弦定理，能运用正弦定理解决一些三角形中简单问题；
过程与方法：通过对任意三角形边角关系的探索，发现三角形中的边长与角度之间的数量关系；通过正弦定理的证明和应用，培养学生探索问题、分析问题和解决问题的能力；
情感态度与价值观：通过对三角形边角关系的探究，让学生经历数学探究活动的过程，体验获取知识的感受，领会数学的科学价值、应用价值、美学价值。
●教学重点
正弦定理的探索、证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程
一、新课引入
1、钱塘江将新建一座大桥，假设让你设计，不过河如何测量出桥的长度？（只有测角仪和皮尺）
2、知识回顾：在中，已知，。
，，，
则=
这两个关系式能否推广到任意三角形？（几何画板演示,归纳总结）
二、讲授新课
1、几何画板演示：画一个三角形，度量出三边长度和三个角度的数值，计算显示一组的值，一组的值，不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形的形状，观察各组比值的变化，直观地检验所提出的两个猜想。猜想（1）的三个比值一直都相等，猜想（2）的两个比值并不是一直都相等，因此剔除猜想（2），保留猜想（1）。
2、证明正弦定理：
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1)
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
3、正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1、在中，已知a=5，B=45。，C=105。解三角形。
练习：解决引入中的问题：A=75。，C=45。，b=1200，求c。
例2、根据下列条件解三角形。
；
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[补充练习]
练习1、在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝( )
A．1:2:3 B．3:2:1 C．1::2 D．2: :1
练习2、在△ABC中，若a=2bsinA，则B＝（ ）
练习3、在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
三.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。