一元二次方程
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文档简介
课题 一元二次方程 时间 第 2 周第 5 课时
课型 新授课 执教人
教学目标 1、了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目。 2、通过对一元二次方程的概念的探索，进一步提高理解能力，渗透类比思想。 3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
重点 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
环节 教学活动 设计意图
一、示标导学 创设情境：问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．问题（2）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________．二、出示学习目标 调动学生的积极性，让学生体会数学来源于生活。 进一步培养学生的自学意识，提高学生的自学能力。
二、自学解疑 请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 特点：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4． 通过对问题的设计、解答，激发学生的探知欲，在交流中培养学生的合作意识
三、探究提升 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可． 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．小结：以提问的形式，积极引导学生对本节课所学的内容进行、归纳、整理。 注重前后知识的联系和开放性思维的培养，进一步规范解题思路、格式、步骤，便于学生加深理解、掌握。
四、达标检测 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 三、综合提高题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？四、选做题1．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
教学反思 本节课主要以概念教学为主，偏重对概念的理解，因此从导课中就列举了大量的生活实例，帮助学生从实际生活中发现数学问题，激发学生的学习兴趣。整节课以学生自学探究、合作交流为主，体现了学生的主动地位，让学生在积极的探索中，得到了锻炼和发展。
课型 新授课 执教人
教学目标 1、了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目。 2、通过对一元二次方程的概念的探索，进一步提高理解能力，渗透类比思想。 3、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
重点 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
环节 教学活动 设计意图
一、示标导学 创设情境：问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．问题（2）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________．二、出示学习目标 调动学生的积极性，让学生体会数学来源于生活。 进一步培养学生的自学意识，提高学生的自学能力。
二、自学解疑 请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 特点：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4． 通过对问题的设计、解答，激发学生的探知欲，在交流中培养学生的合作意识
三、探究提升 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可． 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．小结：以提问的形式，积极引导学生对本节课所学的内容进行、归纳、整理。 注重前后知识的联系和开放性思维的培养，进一步规范解题思路、格式、步骤，便于学生加深理解、掌握。
四、达标检测 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 三、综合提高题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？四、选做题1．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
教学反思 本节课主要以概念教学为主，偏重对概念的理解，因此从导课中就列举了大量的生活实例，帮助学生从实际生活中发现数学问题，激发学生的学习兴趣。整节课以学生自学探究、合作交流为主，体现了学生的主动地位，让学生在积极的探索中，得到了锻炼和发展。
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