2021_2022学年八年级数学上册第13章全等三角形13.5.3角平分线同步练习新版华东师大版

13.5.3角平分线　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1.如图1,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 (　　)
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
图1
2.[2020·怀化] 如图2,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E.若BD=3,则DE的长为 (　　)
A.3 B.4 C.28 D.6
图2
3.如图3,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠BOC=120°,则∠A的度数为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
图3
4.如图4,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=13AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于 (　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
图4
5.如图5,下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是 (　　)
A.AB⊥PD,DC⊥PB
B.△PBA≌△PDC
C.△AOD≌△COB
D.点O到∠APB两边的距离相等
图5
6.如图6,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是 (　　)
A.AE,BF是△ABC的内角平分线
B.CG也是△ABC的一条内角平分线
C.点O到△ABC三边的距离相等
D.AO=BO=CO
图6
7.如图7,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与CD垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是 (　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
图7
8.如图8,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和24,则△EDF的面积为 (　　)
A.12 B.26 C.6 D.13
图8
二、填空题
9.如图9所示,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,根据角平分线的性质和判定填空:
(1)若CD=CE,则　　　　(填∠1与∠2的数量关系);?
(2)若∠1=∠2,则　　　　(填CD与CE的数量关系).?
图9
10.如图10,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E.若BD=3,OD=2,则OE=　　　　.?
图10
11.如图11,在△BCD中,∠BDC=90°,以BD为斜边向外作Rt△ABD.若AD=4,∠ADB=∠C,且P是BC边上一动点,则DP长的最小值为　　　　.
图11
12.如图12,已知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB,∠MON=60°,∠OPC=25°,则∠PCA=　　　　°.?
图12
三、解答题
13.如图13,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,BD=CD.
求证:AD平分∠BAC.
图13
14.有在公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B(如图14所示).电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不要求写出作法)
图14
15.如图15所示,PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C,且PB=PC,D是AP上的一点.
求证:∠BDP=∠CDP.
图15
16.如图16,AD平分∠BAC,DG⊥BC于点G,且平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.
求证:BE=CF.
图16
17.如图17,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,AB=AD,E,F两点分别在AB,AD上,且AE=DF.四边形AECF的面积与四边形ABCD的面积有何关系?请说明理由.
图17
答案
1.B
2.[解析] A　∵∠B=90°,∴DB⊥AB.
又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,
∴由角平分线的性质得DE=BD=3.
故选A.
3.[解析] C　∵点O到△ABC三边的距离相等,∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠OBC+∠OCB)=180°-2(180°-∠BOC)=180°-2×(180°-120°)=60°.故选C.
4.[解析] C　如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵AC=8,DC=13AD,∴CD=8×11+3=2.∵∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,∴DE=CD=2,即点D到AB的距离为2.故选C.
5.A
6.D
7.[解析] C　如图,过点P作PE⊥BC于点E.
∵AB∥CD,AD⊥CD,
∴AD⊥AB.
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD.
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.故选C.
8.D
9.(1)∠1=∠2　(2)CD=CE
10.2
11.[答案] 4
[解析] ∵∠BDC=90°,∠A=90°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,∠C+∠CBD=90°.
又∵∠ADB=∠C,
∴∠ABD=∠CBD.
由垂线段最短可知当DP⊥BC时DP的长度最小,此时DP=AD.
∵AD=4,
∴DP的最小值为4.
故答案为4.
12.55
13.证明:∵DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠BED=∠CFD=90°,
∴△BDE与△CDF都是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵BE=CF,BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L.),
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC.
14.解:由题意可知,所求作的点C需要满足两个要求:(1)到A,B两点的距离相等,此时点C在AB的垂直平分线上;
(2)到两条公路l1,l2的距离相等,此时点C在两条公路夹角的平分线上.因此,只需要按照如下作法就可找到点C的位置.
①连结AB,作AB的垂直平分线FG;
②作两条公路夹角的平分线OD和OE,分别与FG交于点C1和C2(如图所示),则点C1,C2就是所求作的位置.
15.证明:∵PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC,
∴AP平分∠BAC(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上),
∴∠BAP=∠CAP.
∵∠BAP+∠BPA=90°,∠CAP+∠CPA=90°,
∴∠BPD=∠CPD(等角的余角相等).
在△PBD和△PCD中,
∵PB=PC,∠BPD=∠CPD,PD=PD,
∴△PBD≌△PCD,
∴∠BDP=∠CDP(全等三角形的对应角相等).
16.证明:如图,连结BD,CD.
∵AD平分∠BAC,且DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∵DG⊥BC,且平分BC,
∴BD=CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中,
∵BD=CD,DE=DF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(H.L.),
∴BE=CF.
17.解:四边形AECF的面积为四边形ABCD的面积的一半.
理由:如图,过点C分别作CG⊥AB于点G,CH⊥AD于点H.
∵AC平分∠BAD,
∴CG=CH.
∵AB=AD,
∴△ABC的面积=△ACD的面积.
∵AE=DF,
∴△AEC的面积=△CDF的面积.
∵△BCE的面积=△ABC的面积-△AEC的面积,
△ACF的面积=△ACD的面积-△CDF的面积,
∴△BCE的面积=△ACF的面积.
∵四边形AECF的面积=△AEC的面积+△ACF的面积,
∴四边形AECF的面积=△AEC的面积+△BCE的面积=△ABC的面积.
又∵四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积,
∴四边形ABCD的面积=2△ABC的面积,
∴四边形AECF的面积为四边形ABCD的面积的一半.