3.1.2函数的表示方法
1.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )
A．1个
B.
2个
C．3个
D.
4个
解析：对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确.
2.
设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A.
B．3
C.
D.
解析：选D.f(3)＝，f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.
3.已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝
B．y＝－x
C．y＝
D．y＝
解析：选C.设y＝，由题意得1＝，解得k＝2，所以y＝.
4.
已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝( )
A．2
B．4
C．0
D．3
解析：选C.结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.
5．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
解析：选A.法一：令2x＋1＝t，则x＝.
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
6.
已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
解析：选B.法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2－3，
所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
所以f(x)＝x2＋2x－2，
所以f(2)＝22＋2×2－2＝6.
法三：令x－1＝2，所以x＝3，
所以f(2)＝32－3＝6.
7．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于( )
A.x＋5
B.x＋1
C．2x－3
D．2x＋1
解析：选A.因为f(x)是一次函数，
所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，
整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，
所以所以
所以f(x)＝x＋5，故选A.
8.
若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( A )
A．x＋1
B．x－1
C．2x＋1
D．3x＋3
解析：因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，联立解得f(x)＝x＋1.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
9.
已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：
则方程g(f(x))＝x的解集为________．
解析：当x＝1时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意；
当x＝2时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意；
当x＝3时，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合题意．
综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．
10.已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
答案：2
11.已知f(n)＝则f(8)＝________．
解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
答案：7
12．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝________．
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
答案：
13.已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f(1)＝
，f＝
.
解析：∵f(2)＝f(2×1)＝f(2)＋f(1)，∴f(1)＝0.
又f(1)＝f＝f(2)＋f＝0，∴f＝－1.
14.定义两种运算：a?b＝，a?b＝，则函数f(x)＝的解析式为
．
解析：∵2?x＝，x?2＝＝|x－2|，
∴f(x)＝.
易知函数的定义域为{x|－2≤x<0或0∴f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]．
15.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解：因为f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
由系数相等得
所以所以f(x)＝x2－x＋1.
16.
已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(5)))的值;
(2)画出函数的图象.
解:(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.
因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.
因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,
即f(f(f(5)))=-1.
(2)图象如图所示.
17.
设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
18.
已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f(f(－3))的值．
解：由f(x)＝x，得＝x，即ax2＋(b－1)x＝0.
∵方程f(x)＝x有唯一解，∴Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
∵f(2)＝1，∴＝1.∴a＝.
∴f(x)＝＝.
∴f(f(－3))＝f(6)＝＝.
19.
已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2,
h(1)＝－3.求：(1)函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)f(4)的值．
解：(1)设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，
h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，
由于g(1)＝2，h(1)＝－3，
所以k1＝2，k2＝－3.
所以f(x)＝2x2－，
定义域是(0，＋∞)．
(2)由(1)，得f(4)＝2×42－＝.
20.某村电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.
方案二:不收管理费,每度0.58元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?
(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x,
当x>30时,L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1,
所以L(x)=(注:x也可不取0)
(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35得x=66,舍去.
当x>30时,由L(x)=0.6x-1=35得x=60.
所以老王家该月用电60度.
(3)设按方案二收费为F(x)元,则F(x)=0.58x.
当0≤x≤30时,由L(x)25,所以25当x>30时,由L(x)综上,25故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.3.1.2函数的表示方法
1.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )
A．1个
B.
2个
C．3个
D.
4个
2.
设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A.
B．3
C.
D.
3.已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝
B．y＝－x
C．y＝
D．y＝
4.
已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝( )
A．2
B．4
C．0
D．3
5．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
6.
已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
7．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于( )
A.x＋5
B.x＋1
C．2x－3
D．2x＋1
8.
若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( A )
A．x＋1
B．x－1
C．2x＋1
D．3x＋3
9.
已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
则方程g(f(x))＝x的解集为________．
10.已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
11.已知f(n)＝则f(8)＝________．
12．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝________．
13.已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f(1)＝
，f＝
.
14.定义两种运算：a?b＝，a?b＝，则函数f(x)＝的解析式为
．
15.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
16.
已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(5)))的值;
(2)画出函数的图象.
17.
设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
18.
已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f(f(－3))的值．
19.
已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2,
h(1)＝－3.求：(1)函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)f(4)的值．
20.某村电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.
方案二:不收管理费,每度0.58元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?
(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
