3.2.1函数的单调性
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x＋1|
3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)4．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．函数y＝x2－6x的减区间是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
6．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
7.
已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0
B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0
D．增函数且f(0)>0
8.
函数y＝的递增区间是( )
A．(－∞，－2)
B．[－5，－2]
C．[－2,1]
D．[－5,1]
9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
10．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)>f(0)
B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1)D．f(a2＋1)≥f(2a)
11.
若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)12．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是
.
13．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
14．已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－215.
已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是
.
16.作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
17.
证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
18．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
19.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.3.2.1函数的单调性
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x＋1|
解析：选B.y＝3－x，y＝，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．
3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)4．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
5．函数y＝x2－6x的减区间是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
6．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．
7.
已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0
B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0
D．增函数且f(0)>0
解析：选A.因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
8.
函数y＝的递增区间是( )
A．(－∞，－2)
B．[－5，－2]
C．[－2,1]
D．[－5,1]
解析：由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}．∵y＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B．
9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，符合题意；
当a>0时，f(x)图象的开口向上，不符合题意；
当a<0时，由题意可得－≥4，解得a≥－.
综上可知：－≤a≤0.
10．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)>f(0)
B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1)D．f(a2＋1)≥f(2a)
解析：∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2A．
当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；
当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D．
11.
若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.
答案：(5，＋∞)
12．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是
.
解析：选A.当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，所以0≤a≤.
13．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.答案：(－∞，2]
14．已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2解析：因为A(0，－2)，B(－3，2)在函数y＝f(x)的图象上，所以f(0)＝－2，f(－3)＝2，故－2答案：(－3，0)
15.
已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是
.
解析：二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝.
因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即?(1,4)，所以≤1或≥4，即m≤4或m≥16.
16.作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示，
由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]；
单调递增区间为(2，＋∞)．
17.
证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
证明: ?x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
18．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
解：(1)由题意知x＋1≠0，即x≠－1.
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：?x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
因为x10.
又因为x1，x2∈[1，＋∞)，
所以x2＋1>0，x1＋1>0.
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x2)>f(x1)．
所以函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
19.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.
故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0.
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0.
因此f(x1)故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)．
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
且f(|x|)<－2＝f(9)，
所以|x|>9，解得x>9或x<－9.
∴f(|x|)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．
