3.2.1函数的最值
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( )
-1,3
B.
0,2
C.
-1,2
D.
3,2
解析：当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=
-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.
2.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选C.由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．
3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
解析：B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．
4．函数y＝x＋的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞)
D．[，＋∞)
解析：函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为2.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C．
6．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．?
解析：因为f(x)＝2x－3在R上是增函数，所以当x≥1时，f(x)≥f(1)＝2×1－3＝－1，m≤－1.
7.
已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选C.因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.
所以f(x)在[0，1]上单调递增．
又因为f(x)min＝－2，
所以f(0)＝－2，
即a＝－2.
所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606
B．45.6
C．45.56
D．45.51
解析：设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为15－a，设利润为y，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15)，即y＝－0.15a2＋3.06a＋30，可求ymax＝45.6.
9.
函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是________．
解析：因为f(x)＝2－在[1，3]上为单调增函数，所以f(x)的最大值为f(3)＝2－1＝1.
10．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．
解析：函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是直线x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，
由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6.
故实数m的值为6.
11．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.
解析：设隔墙的长为x
m，矩形面积为S
m2，则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值18.
12.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为
.
解析：化简函数为y＝其图象如图所示，
所以函数的最小值为3.
13．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是
.
解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为
.
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．
由图象可知，函数f(x)的最大值为6.
15．求函数y＝f(x)＝在区间[1，2]上的最大值和最小值．
解：?x1，x2，且1≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为1≤x1所以2即6<3(x1＋x2)<12，
又10，x1－3<0，x2－3<0，
故f(x1)－f(x2)>0.
所以函数y＝在区间[1，2]上为减函数，
ymax＝f(1)＝－，ymin＝f(2)＝－4.
16．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值．
(2)若y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
因为x∈[－5，5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值为1，
当x＝－5时，f(x)取得最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为直线x＝－a.
因为f(x)在[－5，5]上是单调的，
故－a≤－5或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.
17．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，
f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数．
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
18.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．
又∵f(x)的定义域和值域均为[1，a]，
∴即
解得a＝2.
(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，
又∵x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2，
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又∵a≥2，∴2≤a≤3.
能力拓展
请先阅读下面材料，然后回答问题．
对应问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．
所以当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
(2)试研究函数y＝的最值情况．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，试研究其最值的情况．
解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0.
正确解答如下：
令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
当0＜u≤4时，≥，即f(x)≥；
当u＜0时，＜0，即f(x)＜0.
所以f(x)＜0或f(x)≥.
即f(x)既无最大值，也无最小值．
(2)因为x2＋x＋2＝＋≥，
所以0＜y≤，所以函数y＝的最大值为，没有最小值．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)．
令u＝ax2＋bx＋c，
①当Δ＞0时，u有最小值，umin＝＜0；
当≤u＜0时.≤，
即f(x)≤；
当u＞0时，即f(x)＞0.
所以f(x)＞0或f(x)≤，
即f(x)既无最大值，也无最小值．
②当Δ＝0时，u有最小值，umin＝＝0，结合f(x)＝知u≠0，
所以u＞0，此时＞0，即f(x)＞0，
f(x)既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，umin＝＞0，即u≥＞0.
所以0＜≤，
即0＜f(x)≤，
所以当x＝－时，f(x)有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，f(x)既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，f(x)有最大值，
此时x＝－，没有最小值．3.2.1函数的最值
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( )
-1,3
B.
0,2
C.
-1,2
D.
3,2
2.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
4．函数y＝x＋的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞)
D．[，＋∞)
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．?
7.
已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和
L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606
B．45.6
C．45.56
D．45.51
9.
函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是________．
10．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．
11．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______m.
12.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为
.
13．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是
.
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为
.
15．求函数y＝f(x)＝在区间[1，2]上的最大值和最小值．
16．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值．
(2)若y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
17．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，
f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
18.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
能力拓展
请先阅读下面材料，然后回答问题．
对应问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．
所以当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
(2)试研究函数y＝的最值情况．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，试研究其最值的情况．