3.2.2函数的奇偶性
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
D．y＝x2，x∈(－1，1]
2.下列函数中，是奇函数的为(???
).
A.
B
.
C.
D.
3．如图,给出奇函数的局部图象，则的值为(
)
A．
B．2
C．1
D．0
4.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
6.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
8．已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
9.如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝________．
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
11.设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝
.
12．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝
.
13.
已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
14.
对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2,2]，以下命题正确的是
.(填序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；
②若对于任意x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；
③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．
15.
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋；
(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；
(3)f(x)＝
16.
定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)补全f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
17.
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
18．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
19.
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．3.2.2函数的奇偶性
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
D．y＝x2，x∈(－1，1]
解析：选B.对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数．
2.下列函数中，是奇函数的为(???
).
A.
B
.
C.
D.
解析：对函数，由于，因此，定义域为，，因此为奇函数．故选A．
3．如图,给出奇函数的局部图象，则的值为(
)
A．
B．2
C．1
D．0
解析：由图知，
又为奇函数,所以.故选A.
4.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.因为函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，
即m－2＝－m＋2，解得m＝2.
5.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：∵F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，定义域为R，∴函数F(x)在R上是奇函数．
6.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C.依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选C.
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
8．已知函数f(x)满足f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：∵f(x)·f(－x)＝1，f(x)>0恒成立，
∴f(－x)＝>0，
∴g(－x)＝＝＝＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．
9.如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝________．
解析：设x<0，则－x>0，
所以2×(－x)－3＝－2x－3.
又原函数为奇函数，
所以f(x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
解析：因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，
所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，
即f(x)＋f(－x)＝10.
所以f(－3)＋f(3)＝10，
又f(－3)＝2，
所以f(3)＝8.
11.设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝
.
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．
又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴f(1)＋f(2)＝－3.
12．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝
.
解析：令h(x)＝x5＋ax3＋bx，易知h(x)为奇函数．
因为f(x)＝h(x)－8，h(x)＝f(x)＋8，
所以h(－2)＝f(－2)＋8＝18.
h(2)＝－h(－2)＝－18，
所以f(2)＝h(2)－8＝－18－8＝－26.
13.
已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
解析：因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.又，所以b＝1.故a＋b＝2.
14.
对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2,2]，以下命题正确的是
.(填序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；
②若对于任意x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；
③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．
解析：①中不满足偶函数定义中的任意性，因此①不对；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)一定不是偶函数，故③对；④中若满足
f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．
15.
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋；
(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；
(3)f(x)＝
解：(1)偶函数．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)奇函数．定义域为R.
又因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．
16.
定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)补全f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
解：(1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图象如图所示．
(2)结合函数f(x)的图象，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)．
17.
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，
所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
18．已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论？
解：(1)因为g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，所以g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．
(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
19.
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
解：(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
∴－3x＋q＝－3x－q，∴2q＝0，∴q＝0.
又f(2)＝，∴＝，
解得p＝2，∴p＝2，q＝0.
(2)f(x)＝＝(x＋)．
设1Δy＝f(x1)－f(x2)＝(x1＋－x2－)
＝[(x1－x2)＋]＝(x1－x2)·
＝Δx·.
∵11，
∴上式<0，即f(x1)∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
