3.2.2函数奇偶性的应用
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
3．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( )
A．4
B．0
C．2m
D．－m＋4
4．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于( )
A．x＋x4
B．－x－x4
C．－x＋x4
D．x－x4
5.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)
D．f(π)6．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为( )
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
7．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( )
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
8．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
9．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
10．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
11．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
12．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为
.
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，
则m＝
.
14．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是
。
15．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)求f(－1)的值；
(2)求当x<0时函数的解析式；
(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
16．已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
17.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．
(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间；
(2)求函数f(x)，x∈R的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1,2]，求函数g(x)的最小值．
18.
已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
19.
已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)＜0.
20.
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b均为实数)，
x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)是否大于零，并说明理由．3.2.2函数奇偶性的应用
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：因为x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.
又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A．
3．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( )
A．4
B．0
C．2m
D．－m＋4
解析：由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.
所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．
4．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于( )
A．x＋x4
B．－x－x4
C．－x＋x4
D．x－x4
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)．
则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，x∈(0，＋∞)．
从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝x＋x4.故选A．
5.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)解析：因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，
故f(π)>f(－3)>f(－2)．
6．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为( )
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
解析：选C.根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)＜0?或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.
7．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)( )
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
解析：由f(x)是偶函数，得f(x)的图象关于y轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B．
8．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,0)∪(0,2)
解析：∵f(x)为偶函数，∴＝>0，∴xf(x)>0，∴或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．故选B．
9．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，
解得a＝5.
10．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析：根据偶函数的性质，易知f(x)＞0的解集为(－2，2)，若f(x－1)＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.
11．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，
因为图象关于y轴对称，且它的值域为(－∞，4]，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0(舍去)，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又因为值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，
所以f(x)＝－2x2＋4.
12．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为
.
解析：由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.
13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，
则m＝
.
解析：∵x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，
∴f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m，
又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，
由f(2)＝3f(－1)知，5＋2m＝－6－3m，∴m＝－.
14．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是
。
解析：∵函数f(x)为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f(x)在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．
15．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)求f(－1)的值；
(2)求当x<0时函数的解析式；
(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
解：(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1.
(2)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－1.
又因为f(x)为偶函数，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－1＝－－1.
(3)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0因为x1－x2<0，x1x2>0.
所以f(x2)－f(x1)<0.
所以f(x1)>f(x2)．
因此f(x)＝－1在(0，＋∞)上是减函数．
16．已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较f与f的大小．
解：(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明：设0则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)
＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.
∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0，
即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知f(x)是偶函数，
则有f＝f，
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
则f>f.∴f>f.
17.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．
(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间；
(2)求函数f(x)，x∈R的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1,2]，求函数g(x)的最小值．
解：(1)f(x)的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)设x>0，则－x<0，
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
∴f(x)＝
(3)由(2)知g(x)＝x2－(2＋2a)x＋2，x∈[1,2]，其图象的对称轴为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)min＝g(1)＝1－2a；
当1当a＋1≥2，即a≥1时，g(x)min＝g(2)＝2－4A．
综上，g(x)min＝
18.
已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a，
得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，
所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0＝1－－＝.
因为0所以x1－x2<0，x1x2>0，
从而<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
19.
已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)＜0.
解：(1)由题意，得
所以
故f(x)＝.
(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以x1－x2＜0，1＋x＞0，1＋x＞0.
又－1＜x1x2＜1，所以1－x1x2＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
因为f(x)在(－1，1)上是增函数，所以－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.
所以不等式的解集为.
20.
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b均为实数)，
x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)是否大于零，并说明理由．
解：(1)因为f(－1)＝0，
所以a－b＋1＝0 ①.
又函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a≠0.
由y＝a＋，知＝0，
即4a－b2＝0 ②.
解①②，得a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
(2)由(1)得g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－.
因为当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，
所以≤－2或≥2，
即k≤－2或k≥6，
故实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
(3)大于零．理由如下：
因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ax2＋1，
所以F(x)＝
不妨设m＞n，则n＜0.
由m＋n＞0，得m＞－n＞0，
所以|m|＞|－n|，
又a＞0，
所以F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－(an2＋1)＝a(m2－n2)＞0，
所以F(m)＋F(n)大于零．