2.3.2一元二次不等式的应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（原卷+解析）

2.3.2一元二次不等式的应用
1．不等式≥2的解是(　　)
A．－3≤x≤
B．－≤x≤3
C．≤x<1或1D．－≤x<1或12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<－2或m≥2
B．－2C．－2D．m≤2
3．若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈{x|1A．k≤2
B．k>1
C．k<2
D．k≥1
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．15≤x≤20
B．12≤x≤25
C．10≤x≤30
D．20≤x≤30
5．已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|0B．{m|m<3－2或m>3＋2}
C．{m|03＋2}
D．{m|m≤3－2或m≥3＋2}
6．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．0B．≤a<
C．a≥
D．a>1
7．若关于x的一元二次方程有实数根，且，
则下列结论中错误的是（
）
A．当时，
B．
C．当时，
D．二次函数的图象与轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
8．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.
B．R
C.
D．?
10．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．m≤0
B．0≤m<
C．m<0或0D．m<
11.
不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－11的解集为
.
12．若关于x的不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集，则m的取值范围是
.
13．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P＝150－2x，生产x件所需成本为C＝50＋30x元，要使日获利不少于1
300元，则该厂日产量应在
范围之内(件)．
14．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为
.
15．已知A＝{x|116．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
17.
已知关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）当时，求.
18.
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
19．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示：
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
20.
已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围．2.3.2一元二次不等式的应用
1．不等式≥2的解是(　　)
A．－3≤x≤
B．－≤x≤3
C．≤x<1或1D．－≤x<1或1解析：原不等式等价于∴∴
即－≤x<1或12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<－2或m≥2
B．－2C．－2D．m≤2
解析：∵不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，∴(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，
当m－2＝0，即m＝2时，不等式为－4<0，显然成立；
当m－2≠0，即m≠2时，应满足
解得－2综上，－23．若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈{x|1A．k≤2
B．k>1
C．k<2
D．k≥1
解析：x2－1>kx－k对于x∈{x|1所以k≤2.故选A．
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．15≤x≤20
B．12≤x≤25
C．10≤x≤30
D．20≤x≤30
解析：设矩形宽为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，
整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.
5．已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|0B．{m|m<3－2或m>3＋2}
C．{m|03＋2}
D．{m|m≤3－2或m≥3＋2}
解析：∵方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，∴Δ＝[－(m＋1)]2－8m>0，即m2－6m＋1>0，解得m<3－2或m>3＋2.再根据两根之和为>0，且两根之积为>0，解得m>0.综上可得，03＋2.
6．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．0B．≤a<
C．a≥
D．a>1
解析：A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a<.
7．若关于x的一元二次方程有实数根，且，
则下列结论中错误的是（
）
A．当时，
B．
C．当时，
D．二次函数的图象与轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
解析：画出二次函数的图像如下图所示，当时，成立，故A选项结论正确.根据二次函数图像的对称性可知，当时，取得最小值为.要使有两个不相等的实数根，则需，故B选项结论正确.当时，根据图像可知，故C选项结论错误.由展开得，根据韦达定理得.所以，故与轴的交点坐标为.
8．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得，即，解得或.
因此，实数的取值范围是，故选：B.
9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.
B．R
C.
D．?
解析：选A.因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项．
10．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．m≤0
B．0≤m<
C．m<0或0D．m<
解析：函数f(x)＝mx2－mx－1，
若对于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋4恒成立，
即mx2－mx＋m－5<0对于x∈{x|1≤x≤3}恒成立．
令g(x)＝mx2－mx＋m－5，当m＝0时，－5<0恒成立．
当m<0时，g(x)max＝g(1)＝m－5<0，
解得m<5，∴m<0.
当m>0时，g(x)max＝g(3)＝7m－5<0，
解得m<，∴0综上所述，实数m的取值范围为m<.
11.
不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－11的解集为
.
解析：由已知不等式(x＋1)(x－a)<0的解集为{x|－1∴不等式>1可化为>1，移项通分得>0，
∴(x＋2)(x－1)>0，解得x<－2或x>1.
∴所求解集为{x|x<－2或x>1}．
12．若关于x的不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集，则m的取值范围是
.
解析：假设原不等式的解集为空集．
当m＝0时，原不等式化为1<0，此时不等式无解，满足要求．
当m≠0时，即
∴04.
13．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P＝150－2x，生产x件所需成本为C＝50＋30x元，要使日获利不少于1
300元，则该厂日产量应在
范围之内(件)．
解析：由题意得：(150－2x)x－(50＋30x)≥1
300，化简得：x2－60x＋675≤0，
解得15≤x≤45，且x为整数．
14．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为
.
解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0.
因此，即
于是，不等式＋c>bx可化为－2a>－ax.
因为a<0，所以－2<－x，即<0，
当x＝1时，不等式不成立；
当x≠1时，得x<0.
所以所求不等式的解集为{x|x<0}．
15．已知A＝{x|1解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1，a－1，且a＋1>a－1，所以B＝{x|a－1答案：1≤a≤2
16．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x<8.
答案：2≤x<8
17.
已知关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）当时，求.
解:（1）由题得，所以不等式的解集为，故M=
.
（2）①当时，此时关于的不等式为，；
②当时，此时；
③当时，此时.
18.
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
解:（1）不等式可化为：，
①当时，不等无解；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
（2）由可化为：，
必有：，化为，
解得：.
19．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表所示：
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
解:设，则∴
∴
当每件的销售价为x元时，每件的销售利润为元，每天的销售利润为S.则.
∴当时，元．
答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1
600元．
20.
已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立
?解得－4综上可知，实数m的取值范围是－4(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈{x|1≤x≤3}不等式恒成立，只需即可，所以
解得m<，所以0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是m<.