3.3幂函数
1.
下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3
B．y＝2x2－1
C．y＝
D．y＝
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2
B．－2或1
C．－1
D．1
3．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
4．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
5．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n
B．mC．n>m>0
D．m>n>0
6．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的α的值的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．aD．c8．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的下方，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
9.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
f(x)
1
则f(x)的单调递增区间是________．
10．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
11．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．
12.若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是
.
13．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝
.
14．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝
.
15.已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问：
(1)当a为何值时，此函数为幂函数？
(2)当a为何值时，此函数为正比例函数？
(3)当a为何值时，此函数为反比例函数？
16．已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围．
17.
已知幂函数f(x)＝x
(m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a－的奇偶性．
18.
若已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．3.3幂函数
1.
下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3
B．y＝2x2－1
C．y＝
D．y＝
解析：选C.y＝2x3中，x3的系数不等于1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝＝x－1是幂函数；y＝＝3x－2中x－2的系数不等于1，故D不是幂函数．
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2
B．－2或1
C．－1
D．1
解析：选C.因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
3．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D.由题意设f(x)＝xn，因为函数f(x)的图象经过点(3，)，所以＝3n，解得n＝，即f(x)＝，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.
4．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
解析：设f(x)＝xα.由2α＝，得α＝－2，故f(x)＝x－2，其单调递增区间是(－∞，0)．
5．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，
故m<0，n<0.
取x＝2，则有2m>2n，知m>n，
故n6．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的α的值的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由幂函数的性质知α＝，1,3时满足题意．故选C.
7．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．aD．c解析：a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c8．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的下方，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：幂函数y＝x，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下方，即a<0或09.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
f(x)
1
则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f＝，所以＝，即α＝，
所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
10．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.
答案：α＜0
11．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．
解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，所以m＝1.
12.若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是
.
解析：因为函数f(x)＝x的定义域为R，且为单调递增函数，所以由不等式可得a＋1<3－2a，解得a<.
13．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝
.
解析：∵－<－，且(－)n>(－)n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1，或n＝2.
14．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝
.
解析：因为幂函数f(x)＝x
m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m＝1.
15.已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问：
(1)当a为何值时，此函数为幂函数？
(2)当a为何值时，此函数为正比例函数？
(3)当a为何值时，此函数为反比例函数？
解：(1)由题意知a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，
解得a＝.
(2)由题意知解得a＝4.
(3)由题意知解得a＝3.
16．已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)为幂函数知2m2－6m＋5＝1，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝2时，f(x)＝x3，为奇函数，不符合题意，舍去．所以f(x)＝x2.
(2)由(1)得y＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1，即函数的对称轴为x＝a－1，由题意知函数在(2，3)上为单调函数，所以对称轴a－1≤2或a－1≥3，即a≤3或a≥4.故实数a的取值范围是(－∞，3]∪[4，＋∞)．
17.
已知幂函数f(x)＝x
(m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式，并讨论g(x)＝a－的奇偶性．
解：由f(x)＝x
(m－2)
(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，所以m＜2.因为m∈N，所以m＝0，1.
因为f(x)是偶函数，所以只有当m＝0时符合题意，故f(x)＝x－.于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．
18.
若已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2，
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]，
∵A∪B＝A，∴B?A，
∴?0≤k≤1.