3.4函数的应用（一）
1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(
)
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
解析:由题图知甲所用时间短,∴甲先到达终点.
2.已知等腰三角形的周长为40
cm,底边长y(cm)是腰长
x(cm)
的函数,则函数的定义域为(
)
A.(10,20)
B.(0,10)
C.(5,10)
D.[5,10)
解析:y=40-2x,由得103.据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车量为x辆次，存车处总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
解析：根据题意可知总收入分为两部分：普通车存车费用0.2x元和变速车存车费用(4
000－x)×0.3元，所以y＝0.2x＋1
200－0.3x＝－0.1x＋1
200.只有D符合．
4．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
解析：题图反映随着水深h的增加，注水量V增长的越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．
5．以每秒a
m的速度从地面垂直向上发射子弹，t
s后的高度x
m可由x＝at－4.9t2确定，已知5
s后子弹高245
m，子弹保持在245
m以上(含245
m)高度的时间为( )
A．4
s
B．5
s
C．6
s
D．7
s
解析：已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245
m以上(含245
m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245
m以上高度的时间为5
s.
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累
计里程(千米)
2015年5月1日
12
35
000
2015年5月15日
48
35
600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升
B．8升
C．10升
D．12升
解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35
600－35
000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.
7．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.
B.
C.
D.－1
解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟
B．3.75分钟
C．4.00分钟
D．4.25分钟
解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，
得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812
5，
所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B.
9.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图所示，则下面四个结论，正确的是________(填序号)．
①前3年的年产量增长速度越来越快；
②前3年的年产量增长速度越来越慢；
③3年后，这种产品停止生产；
④3年后，这种产品年产量保持不变．
解析：由图象可知，前3年中，年产量的增长速度越来越快．后5年的年产量是不变的，所以①④正确．答案：①④
10．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表．
季度
1
2
3
4
每千克售价(单位：元)
19.55
20.05
20.45
19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
解析：设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，
则当m＝＝20时，y取最小值．
答案：20
11.如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P经过的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则y关于x的函数关系式是________．
解析：①当0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.
②当1所以y＝AP＝
＝.
③当2根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，
所以y＝AP＝
＝.
④当3所以所求的函数关系式为y＝
12.
把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为
.
解析：设一个三角形的边长为x
cm，则另一个三角形的边长为(4－x)
cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2
cm2.当x＝2
cm时，Smin＝2
cm2.
13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
解析:以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，
∴a＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，
将B点的坐标代入到y＝－x2中，得b＝±，因此水面宽2米．
14．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为
.
解析：设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50，整理得f(x)＝－＋162x－21
000＝－(x－4
050)2＋307
050，所以当x＝4
050时，f(x)最大，最大值为f(4
050)＝307
050，即当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307
050元．
15.
某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2
km以内(含2
km)按起步价8元收取，超过2
km后的路程按1.9元/km收取，但超过10
km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16
km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8
km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
解：(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝
＝
(2)是．理由：只乘一辆车的车费为：
f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘两辆车的车费为：
2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)，
因为40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
16.某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t
每吨收费标准/元
不超过2
t部分
m
超过2
t不超过4
t部分
3
超过4
t部分
n
已知某用户1月份用水量为8
t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6
t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)若某用户3月份用水量为3.5
t，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
解：(1)由题设可得
y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得解得
所以y关于x的函数解析式为
y＝
(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.
故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5
t水.
17．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为
f(t)＝.
由图2可得种植成本与时间的函数关系式为
g(t)＝(t－150)2＋100，0(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，
则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，
即h(t)＝.
当0当t＝50时，h(t)取得最大值100；
当200h(t)＝－(t－350)2＋100，
当t＝300时，h(t)取得最大值87.5.
综上，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大．
18.
某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L－1)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝.当药剂在水中释放的浓度不低于4
mg·L－1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4
mg·L－1且不高于10
mg·L－1时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为4
mg，问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
解：(1)由题意，得当药剂质量m＝4时，
y＝.
当0当x>4时，由≥4，得2x＋28≥4(x－1)，得4.
综上，0所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
(2)由题意，知0当0则2m当x>4时，y＝＝＋，其在区间(4，7]上单调递减，则≤y<3m.
综上，≤y≤3m.
为使4≤y≤10恒成立，只要满足≥4且3m≤10，
即≤m≤，
所以应该投放的药剂量m的最小值为.3.4函数的应用（一）
1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(
)
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
2.已知等腰三角形的周长为40
cm,底边长y(cm)是腰长
x(cm)
的函数,则函数的定义域为(
)
A.(10,20)
B.(0,10)
C.(5,10)
D.[5,10)
3.据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车量为x辆次，存车处总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
4．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
5．以每秒a
m的速度从地面垂直向上发射子弹，t
s后的高度x
m可由x＝at－4.9t2确定，已知5
s后子弹高245
m，子弹保持在245
m以上(含245
m)高度的时间为( )
A．4
s
B．5
s
C．6
s
D．7
s
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累
计里程(千米)
2015年5月1日
12
35
000
2015年5月15日
48
35
600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升
B．8升
C．10升
D．12升
7．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.
B.
C.
D.－1
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟
B．3.75分钟
C．4.00分钟
D．4.25分钟
9.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图所示，则下面四个结论，正确的是________(填序号)．
①前3年的年产量增长速度越来越快；
②前3年的年产量增长速度越来越慢；
③3年后，这种产品停止生产；
④3年后，这种产品年产量保持不变．
10．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表．
季度
1
2
3
4
每千克售价(单位：元)
19.55
20.05
20.45
19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
11.如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P经过的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则y关于x的函数关系式是________．
12.
把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为
.
13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
14．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3
000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为
.
15.
某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2
km以内(含2
km)按起步价8元收取，超过2
km后的路程按1.9元/km收取，但超过10
km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16
km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8
km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
16.某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t
每吨收费标准/元
不超过2
t部分
m
超过2
t不超过4
t部分
3
超过4
t部分
n
已知某用户1月份用水量为8
t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6
t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)若某用户3月份用水量为3.5
t，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
17．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
18.
某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(mg)的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(mg·L－1)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝.当药剂在水中释放的浓度不低于4
mg·L－1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4
mg·L－1且不高于10
mg·L－1时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为4
mg，问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
