4.2.2指数函数的应用
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53
B．0.82<0.83
C．π2<π
D．0.90.3>0.90.5
解析：∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，
∴0.90.3>0.90.5.
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数．
3．已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a>0
B．a>1
C．a<1
D．0
解析：∵f(－2)＝a2,
f(－3)＝a3.
f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故04．定义运算a
b：a
b＝求f(x)＝2x
2－x
的值域( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(0,1]
D．[1，＋∞)
解析：由所给信息可得，f(x)＝2x
2－x＝
f(x)的图象如图所示，可知函数f(x)的值域为(0,1]．
5．当x∈(－∞，
－1]时，不等式(m2－m)4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,1)
B．(－4,3)
C．(－1,
2)
D．(－3,
4)
解析：原不等式变形为m2－m∵函数y＝x在(－∞，
－1]上是减函数，
∴x≥－1＝2，
当x∈(－∞，
－1]时，m2－m6．设函数f(x)定义在实数集上，f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝x，则有( D )
A．fB．fC．fD．f(2)解析：由f(1＋x)＝f(1－x)，得函数f(x)的图象关于x＝1对称，
当x≥1时，f(x)＝x单调递减，
则当x≤1时，函数f(x)单调递增，
∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)，
∴f(0)即f(2)7．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝为增函数．故选B.
8．函数y＝的值域是( )
A．(－2，－1)
B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－2，－1]
解析：选D.当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上函数值域为(－2，－1]．
9．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
解析：由指数函数定义知，b＝1.故a＋a2＝6.
又因为a>0，所以a＝2.
答案：2
10．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
答案：19
11．已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：由函数f(x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
12．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是
．
解析：法1：由指数函数的性质可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．
法2：f(x)＝|x－1|＝
可画出f(x)的图象求其单调递增区间．
13．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗
次．
解析：设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．
14．已知a是任意实数，则关于x的不等式(a2－a＋2
017)x2<(a2－a＋2
017)2x＋3的解集为
．
解析：∵a2－a＋2
017＝2＋2
016.75>1，∴x2<2x＋3，解得－115．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.
故f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1，1)．
16．已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22，
则3－2x<2，得x>，即x∈.
(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，
当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1当01，不成立．
综上可得a∈(1，3)．
17．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64
ppm(ppm为浓度单位，1
ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32
ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5
ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
解：(1)由题意可得
解得
故c，m的值分别为128，.
(2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
18．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；
因此必有解得a＝1.
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.4.2.2指数函数的应用
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53
B．0.82<0.83
C．π2<π
D．0.90.3>0.90.5
2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
3．已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a>0
B．a>1
C．a<1
D．04．定义运算a
b：a
b＝求f(x)＝2x
2－x
的值域( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(0,1]
D．[1，＋∞)
5．当x∈(－∞，
－1]时，不等式(m2－m)4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,1)
B．(－4,3)
C．(－1,
2)
D．(－3,
4)
6．设函数f(x)定义在实数集上，f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝x，则有( D )
A．fB．fC．fD．f(2)7．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
8．函数y＝的值域是( )
A．(－2，－1)
B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－2，－1]
9．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
10．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
11．已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是
．
13．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗
次．
14．已知a是任意实数，则关于x的不等式(a2－a＋2
017)x2<(a2－a＋2
017)2x＋3的解集为
．
15．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
16．已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
17．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64
ppm(ppm为浓度单位，1
ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32
ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5
ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
18．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．