4.3.2对数的运算
1．log242＋log243＋log244＝( )
A．1
B．2
C．24
D.
解析：选A.log242＋log243＋log244
＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N
，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：选A.根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．
3．计算log2·log3·log5＝( )
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选C.log2·log3·log5＝log23－2·log35－2·log52－2＝－8log23·log35·log52＝－8.
4．化简log612－2log6的结果为( )
A．6
B．12
C．log6
D.
解析：选C.原式＝log6－log62
＝log6＝log6.
5．若lg
x－lg
y＝t，则lg－lg＝( )
A．3t
B.t
C．t
D.
解析：选A.lg－lg＝3lg
－3lg
＝3lg
＝3(lg
x－lg
y)＝3t.
6．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为( )
A.
B．9
C．18
D．27
解析：选B.由题意得··＝log416＝log442＝2，所以＝2，
即lg
m＝2lg
3＝lg
9.
所以m＝9，选B.
7．如果lg
x＝lg
a＋3lg
b－5lg
c，那么( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝a＋3b－5c
D．x＝a＋b3－c3
解析：选A.因为lg
x＝lg
a＋3lg
b－5lg
c＝lg
a＋lg
b3－lg
c5＝lg，所以x＝.
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
解析：选A.因为2x＝3，所以x＝log23.
又log4＝y，
所以x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2(log48－log43)
＝log23＋2
＝log23＋3－log23＝3.故选A.
9．若2.5x＝1
000,0.25y＝1
000，则－＝( )
A.
B．3
C．－
D．－3
解析：∵x＝log2.51
000，y＝log0.251
000，
∴＝＝＝log1
0002.5，
同理＝log1
0000.25，
∴－＝log1
0002.5－log1
0000.25＝log1
00010＝＝.
10．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg
3≈0.48)
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
解析：选D.因为lg
3361＝361×lg
3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，则≈＝1093，故选D.
11．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是
.
解析：原方程可化为log3(x2－10)＝log3(3x)，所以x2－10＝3x，解得x＝－2或x＝5.经检验知x＝5.
12.×(lg32－lg2)＝
.
解析：原式＝×lg＝×lg24＝4.
13．已知4a＝5b＝10，则＋＝
.
解析：∵4a＝5b＝10，
∴a＝log410，＝lg4，b＝log510，＝lg5，
∴＋＝lg4＋2lg5＝lg4＋lg25＝lg100＝2.
14．log48－log3＝________．
解析：log48＝log2223＝，
log3＝－，
所以原式＝－＝2.
答案：2
15．已知m＞0，且10x＝lg(10m)＋lg，则x＝________．
解析：lg(10m)＋lg＝lg
10＋lg
m＋lg＝1，
所以10x＝1＝100，所以x＝0.
答案：0
16．若lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，则＝__________．
解析：因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.
又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
答案：4
17．用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg.
解：(1)lg(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z.
(2)lg＝lg(xy2)－lg
z＝lg
x＋2lg
y－lg
z.
(3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg
x＋3lg
y－lg
z.
18．计算下列各式的值：
(1)log3(81)；(2)；
(3)log6－2log63＋log627.
解：(1)原式＝log381＋log3＝log334＋log33＝4＋＝.
(2)原式＝＝
＝＝2.
(3)法一：原式＝－log6(22×3)－2log63＋log633
＝－(log622＋log63)－2log63＋log63
＝－(2log62＋log63)－2log63＋log63
＝－2(log62＋log63)
＝－2log6(2×3)＝－2.
法二：原式＝log6－log632＋log627
＝log6＝log6＝log66－2＝－2.
19．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg
a，t2＝lg
b，即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
所以lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)
＝
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
20．已知2y·logy4－2y－1＝0，·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝？
解：由2y·logy4－2y－1＝0得
2y＝0，所以logy4＝，即y＝16.
由·log5x＝－1得＝－，则＝－logx5>0.
(logx5＋1)＝(－logx5)2，整理得2(logx5)2－logx5－1＝0，解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，所以＝25.
所以P＝＝＝3，
即存在一个正数P＝3，使得P＝成立．
21．设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z，求证：－＝.
证明：设3x＝4y＝6z＝t，由x，y，z均为正数知t>1，在上式中取以t为底的对数，
可得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1，
于是x＝，y＝，z＝.
因此－＝logt6－logt3＝logt2.
∵＝logt4＝logt2，∴－＝.4.3.2对数的运算
1．log242＋log243＋log244＝( )
A．1
B．2
C．24
D.
2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N
，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．计算log2·log3·log5＝( )
A．8
B．6
C．－8
D．－6
4．化简log612－2log6的结果为( )
A．6
B．12
C．log6
D.
5．若lg
x－lg
y＝t，则lg－lg＝( )
A．3t
B.t
C．t
D.
6．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为( )
A.
B．9
C．18
D．27
7．如果lg
x＝lg
a＋3lg
b－5lg
c，那么( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝a＋3b－5c
D．x＝a＋b3－c3
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
9．若2.5x＝1
000,0.25y＝1
000，则－＝( )
A.
B．3
C．－
D．－3
10．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg
3≈0.48)
A．1033
B．1053
C．1073
D．1093
11．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是
.
12.×(lg32－lg2)＝
.
13．已知4a＝5b＝10，则＋＝
.
14．已知m＞0，且10x＝lg(10m)＋lg，则x＝________．
15．若lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，则＝__________．
16．用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；
(2)lg；
(3)lg.
17．计算下列各式的值：
(1)log3(81)；
(2)；
(3)log6－2log63＋log627.
18．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
19．已知2y·logy4－2y－1＝0，·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝？
20．设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z，求证：－＝.
