4.5.2用二分法求方程的近似值
1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
解析：选C.f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1，2)．
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．无法确定
解析：选B.因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
3．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点．根据图象得函数f(x)有3个变号零点．故选D.
4．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
5．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
解析：∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．故选A.
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．无法确定
解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
7．设函数y＝x2与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：令f(x)＝x2－x－2，
因f(1)＝1－1－2＝1－2<0，
f(2)＝22－0＝4－1>0，
故x0∈(1,2)，故选B.
8．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
解析：选B.由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.
9．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：
f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437
5)≈0.162，f(1.406
25)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
解析：选D.由参考数据知，f(1.406
25)≈－0.054，f(1.437
5)≈0.162，则f(1.406
25)·f(1.437
5)<0，且|1.437
5－1.406
25|＝0.031
25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437
5，故选D.
10．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，
又n∈N
，所以n≥7，且n∈N
，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
11．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
答案：a2＝4b
12．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.625|＝0.125>0.1，|0.75－0.687
5|＝0.062
5<0.1，方程的近似解可以是0.75.
答案：0.75
13．某同学在借助计算器求“方程lg
x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg
x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，
第四次得区间(1.75，1.812
5)．
答案：1.5，1.75，1.875，1.812
5
14．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝
.
解析：(1,4)的中点为2.5.
f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
15．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)＝0.200
f(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
据此数据，可得方程
3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取
.
解析：由f(1.562
5)＝0.003>0，f(1.556
2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556
2,1.562
5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取1.562
5.
16．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称
次就可以发现这枚假币．
解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡；则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
17．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
所以f(0)·f(2)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．
再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，
所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.
再取x3＝＝，
得f＝>0，所以f·f<0，下一个有解区间为.
综上所述，得所求的实数解x0在区间内．
18．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－.
(1)求证：函数f(x)有两个零点；
(2)设x1，x2是函数的两个零点，求|x1－x2|的取值范围．
解：(1)证明：由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)且f(1)＝－，
得a＋b＋c＝－，则c＝－－b.
对于方程ax2＋bx＋c＝0，因为a>0，所以Δ＝b2－4ac＝b2＋6a2＋4ab＝(b＋2a)2＋2a2>0，所以函数f(x)有两个零点．
(2)显然x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝
＝＝
＝
＝
＝≥.
则|x1－x2|的取值范围是[，＋∞)．4.5.2用二分法求方程的近似值
1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．无法确定
3．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
5．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．无法确定
7．设函数y＝x2与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
8．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
9．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：
f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437
5)≈0.162，f(1.406
25)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
10．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
11．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
12．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
13．某同学在借助计算器求“方程lg
x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg
x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
14．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝
.
15．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)＝0.200
f(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
据此数据，可得方程
3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取
.
16．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称
次就可以发现这枚假币．
17．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
18．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－.
(1)求证：函数f(x)有两个零点；
(2)设x1，x2是函数的两个零点，求|x1－x2|的取值范围．
