4.5.3函数模型的应用
1．某市的房价(均价)经过6年时间从1
200元/m2增加到了4
800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A．600元
B．50%
C.－1
D.＋1
2．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安
B．240安
C．75安
D．135安
3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是( )
4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041
8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2
B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝logx
5．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )
A．a12－1
B．(1＋a)12－1
C．a
D．a－1
6.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元
B．20元
C．30元
D.元
7．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元
8．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
9．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有亏损
B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
10．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90
℃的物体，放在10
℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50
℃，那么t的值约等于(参考数据：ln
3≈1.099，ln
2≈0.693)( )
A．1.78
B．2.77
C．2.89
D．4.40
11．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为
元．
12．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4
000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4
000元的按全稿酬的11.2%纳税，王老师写一本书共纳税420元，则这本书的稿费(纳税前)为
元．
13．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v
km/h的速度直达灾区．已知某市到灾区公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2
km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是
h(车身长度不计)．
14．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
15．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
16．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
17．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3
600元后，再逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2
000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费后的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
18.已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b，k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝2，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
19．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v(单位：m/s)可以表示为v＝5log2，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
20．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分)
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．4.5.3函数模型的应用
1．某市的房价(均价)经过6年时间从1
200元/m2增加到了4
800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A．600元
B．50%
C.－1
D.＋1
解析：选C.设6年间平均年增长率为x，则有1
200(1＋x)6＝4
800，解得x＝－1.
2．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安
B．240安
C．75安
D．135安
解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是( )
解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明是高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041
8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2
B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x
D．y＝logx
解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
5．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )
A．a12－1
B．(1＋a)12－1
C．a
D．a－1
解析：不妨设第一年1月份的产量为b，则2月份的产值为b(1＋a)，3月份的产值为b(1＋a)2，依此类推，第二年1月份产值是b(1＋a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝(1＋a)12－1.
6.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元
B．20元
C．30元
D.元
解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.
又SA(100)＝SB(100)，
∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，
于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，故选A.
7．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元
解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，
所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.
因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或x＝11时，总利润取得最大值，最大值为43万元．
8．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
解析：选A.从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选A.
9．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有亏损
B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
解析：选A.由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970
299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
10．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90
℃的物体，放在10
℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50
℃，那么t的值约等于(参考数据：ln
3≈1.099，ln
2≈0.693)( )
A．1.78
B．2.77
C．2.89
D．4.40
解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln
＝－ln
2＝－0.693，解得t≈2.77.
11．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为
元．
解析：设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．
∴当x＝95时，y最大．
12．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4
000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4
000元的按全稿酬的11.2%纳税，王老师写一本书共纳税420元，则这本书的稿费(纳税前)为
元．
解析：设纳税前稿费为x元，纳税为y元，由题意可知
y＝
∵此人纳税为420元，
∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3
800.
13．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v
km/h的速度直达灾区．已知某市到灾区公路线长400
km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2
km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是
h(车身长度不计)．
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t
h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了
km所用的时间，因此t＝＝＋≥12，当且仅当＝，即v＝时取等号．故这些汽车以
km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12
h.
14．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
解析：由三角形相似，
得＝，得x＝×(24－y)，
所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，
故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15，12
15．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2
(t≥0)．
答案：4 320·2
(t≥0)
16．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
所以k＝2ln
2，所以y＝e2tln
2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln
2＝210＝1
024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1
024.
答案：2ln
2 1
024
17．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3
600元后，再逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2
000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费后的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解：(1)设该店月利润余额为L元，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3
600－2
000，①
由题中销量图易得Q＝
代入①式得L＝
当14≤P≤20时，Lmax＝450元，
此时P＝19.5元；
当20
此时P＝元．
故当P＝19.5元时，月利润余额最大，最大值为450元．
(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50
000－58
000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．
18.已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b，k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝2，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
解：(1)由题中图象知：
即解得
(2)当P＝Q时，有2(1－6t)(x－5)2＝2，
即(1－6t)(x－5)2＝11－?2(1－6t)＝＝＝－.
令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m.
∵x≥9，∴m∈(0，]．
当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，
即税率的最小值为.
19．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v(单位：m/s)可以表示为v＝5log2，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)当燕子静止时，它的速度v＝0
m/s，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log2，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2＝5log28＝15，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15
m/s.
20．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分)
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解：(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由表格数据可得
解得
所以，当0≤x<6时，
f(x)＝－x2＋2x，
当x≥6时，f(x)＝.由表格数据可得f(9)＝＝，
解得t＝7.
所以当x≥6时，f(x)＝，
综上，f(x)＝
(2)当0≤x<6时，
f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4；
当x≥6时，f(x)＝单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3.
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.