4.5.1函数的零点与方程的解
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1
B.，1
C.，－1
D．－，1
解析：选B.方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2
B．－2
C．±2
D．3
解析：选C.因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
3．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
－3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，＋∞)
解析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上一定存在零点．
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 ( )
A.，0
B．－2，0
C.
D．0
解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.
5．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是( )
A．f(3)<0
B．函数f(x)在定义域内是增函数
C．f(3)>0
D．函数f(x)在定义域内是减函数
解析：选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．
6．函数f(x)＝x3－的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：选B.作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.
7．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
解析：选A.f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
8．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( D )
A．0
B．f(b)C．f(b)<0D．g(a)<0解析：由于函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，且f(a)＝0，所以a∈(0,1)，同理可知b∈(1,2)．由于函数g(x)，f(x)均在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)f(1)＝e－1>0，于是有g(a)<09．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是( D )
A．(0,10]
B.
C．(1，＋∞)
D．(1,10]
解析：作出函数f(x)＝
的图象如图：
f(x)－b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，由图可知，b的取值范围是(1,10]．
10．方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为( )
A．(0，2)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
解析：选C.令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，所以方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为(2，3)．
11．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
12．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．
解析：依题意有a＋log2a＝1，
即log2a＝1－a，
易知a＝1，
所以f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝.
答案：
13．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，
所以函数只有一个零点2，符合题意；
当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.
综上a＝或a＝0.
答案：
14．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为2.
解析：令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，画图(图略)可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
15．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为
．
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴∴
∴－116．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值
范围是
．
解析：函数f(x)的简图如下图，函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于f(x)＝m有三个零点，即函数y＝f(x)与函数y＝m的图象有三个交点．显然，由图象知，当直线y＝m在x轴和直线l：y＝1之间时符合题意，故0≤m<1.
17．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得2≤a<.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得18．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．
(1)求c的值；
(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；
(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．
解：(1)因为1为函数f(x)的零点，
所以f(1)＝0，即c＝1.
(2)证明：设0≤x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝，
因为0≤x1所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，
所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数．
(3)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，
所以ex＝2，即x＝ln
2，
所以函数g(x)的零点是ln
2.
19．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
20．已知函数f(x)＝.
(1)当a＝1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)试讨论f(x)的零点个数．
解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝，该函数为奇函数．
证明如下：依题意得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)化简得f(x)＝a－，所以f(x)＝0?a＝，因为函数y＝2x在R上单调递增且值域为(0，＋∞)，所以y＝在R上单调递减且值域为(0，2)，所以当a≤0或a≥2时，函数f(x)无零点；当01．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1
B.，1
C.，－1
D．－，1
2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2
B．－2
C．±2
D．3
3．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
－3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，＋∞)
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 ( )
A.，0
B．－2，0
C.
D．0
5．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是( )
A．f(3)<0
B．函数f(x)在定义域内是增函数
C．f(3)>0
D．函数f(x)在定义域内是减函数
6．函数f(x)＝x3－的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
7．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
8．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．0B．f(b)C．f(b)<0D．g(a)<09．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是( D )
A．(0,10]
B.
C．(1，＋∞)
D．(1,10]
10．方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为( )
A．(0，2)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
11．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
12．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．
13．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．
14．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为
.
15．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为
．
16．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值
范围是
．
17．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
18．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．
(1)求c的值；
(2)证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；
(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．
19．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
20．已知函数f(x)＝.
(1)当a＝1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)试讨论f(x)的零点个数．