1.1.1集合的概念
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C.
D.
3．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素
B．3个元素
C．4个元素
D．5个元素
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
5.已知，，，则( )
A．且
B．且
C．且
D．且
6．已知集合A中的元素都是自然数，满足a∈A且4－a∈A的有且只有2个元素的集合A的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
7．集合，，则集合中的所有元素之积（ ）
A．36
B．54
C．72
D．108
8．若集合A=只有一个元素，则=（
）
A．-4
B．0
C．4
D．0或-4
9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝
.
10．设集合，集合，则集合中有____个元素．
11．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为
.
12．方程组的解组成的集合为_________.
13．设x，y，z是非零实数，若a＝＋＋＋，则以a的值为元素的集合中元素的个数是
.
14．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
15．已知集合2，，，若，则非零实数m的数值是______．
16．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
17.若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.
18．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
19．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
20.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1?A.
(1)若3∈A，求集合A；
(2)证明：若a∈A，则1－∈A；
(3)集合A能否只有一个元素？若能，求出集合A；若不能，说明理由．1.1.1集合的概念
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：A项中元素不确定；B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1，由互异性知，构成的集合中有2个元素．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C.
D.
解析：因为是实数，但不是有理数，故选D.
3．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素
B．3个元素
C．4个元素
D．5个元素
解析：法1：因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
法2：令x＝2，则题中实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含有2个元素．
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
解析：因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2.当m＝2时，m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去．当m2－3m＋2＝2时，m＝0或m＝3，由集合中的互异性知m＝3.故选B.
5.已知，，，则( )
A．且
B．且
C．且
D．且
解析：∵A={x|x≤2，x∈R}，a=，b=2,
由>2，可得a?A；由2<2，可得b∈A,
故选B．
6．已知集合A中的元素都是自然数，满足a∈A且4－a∈A的有且只有2个元素的集合A的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：若a＝0∈N，则4－a＝4∈N，符合题意；
若a＝1∈N，则4－a＝3∈N，符合题意；
若a＝2∈N，则4－a＝2∈N，不合题意；
若a＝3∈N，则4－a＝1∈N，符合题意；
若a＝4∈N，则4－a＝0∈N，符合题意；
当a>4且a∈N时，均不符合题意．
综上，集合A的个数是2，故选C.
7．集合，，则集合中的所有元素之积（ ）
A．36
B．54
C．72
D．108
解析：当时，或；
又，,∴，；
当时，或，
又，,∴，；
当时，或,∴，；
当时，或，
又，,∴，，
∴。
又．
故选A．
8．若集合A=只有一个元素，则=（
）
A．-4
B．0
C．4
D．0或-4
解析：只有一个实根，所以，
9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝
.
解析：∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2＝x.∴x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴x＝－1.
10．设集合，集合，则集合中有____个元素．
【解析】由题意，x可能为1+1，1+2,1+4,2+2，2+4,4+4，即2,3,4,5,6,8.所以B={2，3，4，5，6，8}；共有6个元素。
11．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为
.
解析：由题意，知t∈N且t＝－x2＋1≤1，故t＝0或1.
12．方程组的解组成的集合为_________.
解析：由，解得或，代入，可解得或，
所以方程组的解组成的集合为，
故答案为.
13．设x，y，z是非零实数，若a＝＋＋＋，则以a的值为元素的集合中元素的个数是
.
解析：当x，y，z都是正数时，a＝4；当x，y，z都是负数时，a＝－4；当x，y，z中有1个是正数，另2个是负数或有2个是正数，另1个是负数时，a＝0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素．
14．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
解析：由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且.
故答案为且.
15．已知集合2，，，若，则非零实数m的数值是______．
解析：由题意，若
则
此时B集合不符合元素互异性，故
若则符合题意；若则不符合题意.故答案为2。
16．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1.
17.若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.
解析：∵，又≥1，
∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，
解得a＝0，或a＝－1，
当a＝0时，
＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性；
当a＝－1时，＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性；
∴a＝0或－1.
18．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
解：(1)因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，
则a－3＝－5，或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
19．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解：①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5?N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集．
②数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．
20.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1?A.
(1)若3∈A，求集合A；
(2)证明：若a∈A，则1－∈A；
(3)集合A能否只有一个元素？若能，求出集合A；若不能，说明理由．
解：(1)∵3∈A，∴＝－∈A，
∴＝∈A，
∴＝3∈A，∴A＝.
(2)证明：∵a∈A，∴∈A，
∴＝＝1－∈A.
(3)不能．理由：假设集合A只有一个元素，记A＝{a}，则a＝，即a2－a＋1＝0有且只有一个实数解．
∵Δ＝(－1)2－4＝－3<0，∴a2－a＋1＝0无实数解．
这与a2－a＋1＝0有且只有一个实数解相矛盾，
∴假设不成立，即集合A不能只有一个元素．
