1.5.2全称量词命题与存在量词命题否定
1．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )
A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C．所有四边形的四个顶点共圆
D．所有四边形的四个顶点都不共圆
解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x≤1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x>1
D．存在实数x，使x≤1
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
3．存在量词命题“?x0?M，p(x0)”的否定是( )
A．?x∈M，?p(x)
B．?x?M，p(x)
C．?x?M，?p(x)
D．?x∈M，p(x)
解析：由存在量词命题的否定的定义可得C正确．
4．下列四个命题中的真命题为( )
A．?x∈Z,1<4x<3
B．?x∈Z,5x＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
解析：1<4x<3，
0，故选D.
5．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A．不存在x0∈R，使得x－2x0＋1≥0
B．存在x0∈R，使得x－2x0＋1≤0
C．存在x0∈R，使得x－2x0＋1<0
D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0
解析：命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x－2x0＋1<0”．故选C.
6．已知命题p：?x0∈R,2x0＋1≤0，则命题p的否定是( )
A．?x0∈R,2x0＋1>0
B．?x∈R,2x＋1>0
C．?x0∈R,2x0＋1≥0
D．?x∈R,2x＋1≥0
解析：命题p：?x0∈R,2x0＋1≤0的否定是“?x∈R,2x＋1>0”，故选B.
7．命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
，使得nB．?x∈R，?n∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n解析：将“?”改写为“?”，“?”改写为“?”，再否定结论可得，命题的否定为“?x∈R，?n∈N
，使得n8．命题“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为( )
A．?x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
B．?x?{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
C．?x0∈{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0
D．?x0?{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为“?x0∈{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0”，故选C.
9．已知命题p：?x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<1}
B．{a|a≤1}
C．{a|a>1}
D．{a|a≥1}
解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D.
10.命题“?x∈R,?n0∈N
,使得n0≥2x+1”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n0∈N
,使得n0<2x+1
B.?x∈R,?n0∈N
,使得n0<2x+1
C.?x0∈R,?n∈N
,使得n<2x0+1
D.?x0∈R,?n∈N
,使得n<2x0+1
解析：由题意可知,全称量词命题“?x∈R,?n0∈N
,使得n0≥2x+1”的否定形式为存在量词命题“?x0∈R,?n∈N
,使得n<2x0+1”,故选D.
11.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是 .
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题,故原命题的否定是“存在k0>0,使得方程x2+x-k0=0无实根”.
12.命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
∴所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
13．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2>0”的否定为
.
答案：存在实数x，满足x2－2x＋2≤0.
14．设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2<0，若p为真，则实数a的取值范围是
.
解析：因为p：?x0∈R，x＋ax0＋2≥0为真，且函数y＝x2＋ax＋2的图象是开口向上的抛物线，所以a∈R.
15．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则q为
。
答案：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
16．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)?x∈R，使4x－3>x；
(3)?x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：?x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“?x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：?x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“?x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
17.命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定．
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，
则需要使的解集不为空集．
a，b应满足的条件是b18.已知命题p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:?x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.
解：因为命题p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,
所以命题p:?x0∈R,+(a-1)x0+1<0是真命题,
则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,
故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.
因为命题q:?x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,所以命题q:?x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,
当a=0时,-3<0成立;
当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.
综上所述,-3≤a<-1.
所以实数a的取值范围是[-3,-1).1.5.2全称量词命题与存在量词命题否定
1．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )
A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C．所有四边形的四个顶点共圆
D．所有四边形的四个顶点都不共圆
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x≤1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x>1
D．存在实数x，使x≤1
3．存在量词命题“?x0?M，p(x0)”的否定是( )
A．?x∈M，?p(x)
B．?x?M，p(x)
C．?x?M，?p(x)
D．?x∈M，p(x)
4．下列四个命题中的真命题为( )
A．?x∈Z,1<4x<3
B．?x∈Z,5x＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
5．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A．不存在x0∈R，使得x－2x0＋1≥0
B．存在x0∈R，使得x－2x0＋1≤0
C．存在x0∈R，使得x－2x0＋1<0
D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0
6．已知命题p：?x0∈R,2x0＋1≤0，则命题p的否定是( )
A．?x0∈R,2x0＋1>0
B．?x∈R,2x＋1>0
C．?x0∈R,2x0＋1≥0
D．?x∈R,2x＋1≥0
7．命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
，使得nB．?x∈R，?n∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n8．命题“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为( )
A．?x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
B．?x?{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
C．?x0∈{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0
D．?x0?{x|1≤x≤2}，x－3x0＋2>0
9．已知命题p：?x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<1}
B．{a|a≤1}
C．{a|a>1}
D．{a|a≥1}
10.命题“?x∈R,?n0∈N
,使得n0≥2x+1”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n0∈N
,使得n0<2x+1
B.?x∈R,?n0∈N
,使得n0<2x+1
C.?x0∈R,?n∈N
,使得n<2x0+1
D.?x0∈R,?n∈N
,使得n<2x0+1
11.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是 .
12.命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
13．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2>0”的否定为
.
14．设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2<0，若p为真，则实数a的取值范围是
.
15．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则q为
。
16．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)?x∈R，使4x－3>x；
(3)?x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
17.命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定．
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
18.已知命题p:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:?x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.