2.1.2等式性质与不等式的性质
1.
已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D一定成立．
2.
给出下列命题：
①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?<1；④a>b?<.
其中正确的命题个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A.由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；
对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；
当a>0，b<0时，＞，故④错误．
3.
若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β＜0
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
解析：选A.由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2.
又因为α<β，故－2<α－β<0.
4.
若a>b>0，c
A.>
B.<
C.>
D.<
解析：方法1：∵c－d>0，∴>>0.又a>b>0，∴>，∴<.
方法2：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则＝－1，＝－1，排除选项A，B.
又＝－，＝－，∴<，排除选项C.
5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A.<
B．a2>b2
C.>
D．a|c|>b|c|
解析：当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但>，a20，a>b?>，故C是正确的；当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选C.
6．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c
B．b>c>d>a
C．d>b>c>a
D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴bb>a>c.
7．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有( )
A．cB．bC．aD．c解析：由<<可得＋1<＋1<＋1，即<<.因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c，可得a>c.由b＋c>c＋a，可得b>a.于是有c8.已知，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：，所以，又，所以，，易得，
因此，，故选：D.
9.已知实数，则_____，_____(用>，<填空).
解析：∵，∴，∴，∴．
，∴．
故答案为＜；＜．
10．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac
0.(填“>”“<”或“＝”)
解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，
∴b2＝a2＋c2＋2ac.
∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.
∵a>c，∴(a－c)2>0，∴b2－4ac>0.
11.已知，则的取值范围为_____．
解析：∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]
12．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
解析：∵z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是{z|3≤z≤8}．
13.对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；
其中正确的是________(填序号)．
解析：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确．
③中，?a2>ab，?ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确．故填②③.
14．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为
(写出所有正确命题的序号)．
解析：对于①，由题意a，b为正实数，
则a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.
若a－b≥1，则≥1?a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2，
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此正确
15．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
解：答案不唯一．
命题一：①②③
若ab>0，且>，则bc>ad.
证明：因为>，且ab>0，
所以·ab>·ab，即bc>ad.
命题二：①③②
若ab>0，且bc>ad，则>.
证明：因为ab>0，所以>0，又bc>ad，
所以bc·>ad·，即>.
16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
证明：
?
≥
?
＋1≥＋1
?
≥
?
≤.
17.已知a>b>c>0，求证：>>.
证明：∵b>c，∴－b<－c.∴a－b∵a>b>c，∴0∴>>0.
又b>0，∴>.
∵b>c>0，>0，∴>.
∴>>.
18．已知a>b>0，c>d>0，求证：
(1)>；
(2)>.
证明：(1)因为c>d>0，所以>>0.
又a>b>0，所以>.
(2)因为a>b>0，c>d>0，
所以>>0，>>0，
所以＋>＋>0，
即>>0，所以>.2.1.2等式性质与不等式的性质
1.
已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
2.
给出下列命题：
①a>b?a2>b2；
②a2>b2?a>b；
③a>b?<1；
④a>b?<.
其中正确的命题个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3.
若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β＜0
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
4.
若a>b>0，cA.>
B.<
C.>
D.<
5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A.<
B．a2>b2
C.>
D．a|c|>b|c|
6．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c
B．b>c>d>a
C．d>b>c>a
D．c>a>d>b
7．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有( )
A．cB．bC．aD．c8.已知，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
9.已知实数，则_____，_____(用>，<填空).
10．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac
0.(填“>”“<”或“＝”)
11.已知，则的取值范围为_____．
12．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
.
13.对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；
其中正确的是________(填序号)．
14．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为
(写出所有正确命题的序号)．
15．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．
16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
17.已知a>b>c>0，求证：>>.
18．已知a>b>0，c>d>0，求证：
(1)>；
(2)>.