2.2.1基本不等式
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2>2|ab|
3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
4．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25
B.
C.
D.
5．已知x＞0，函数的最小值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9
B.
C．3
D.
7．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
A.＋<1
B.＋≥1
C.＋<2
D.＋≥2
8.设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3
B．3－2
C．3－2
D．－1
9．已知a，b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
10.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
11．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
12．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为
.
13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是
.
14．给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥＝4；
③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为
.
15．给出下列不等式：
①x＋≥2；
②≥2；
③≥2；
④>xy；
⑤≥.
其中正确的是________(写出序号即可)．
16．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
17．设a，b，c∈R＋.求证：
(1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc；
(2)(a＋b＋c)≥4.
18.
设
求证：2.2.1基本不等式
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2>2|ab|
解析：∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
解析：∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，又由题意知0≤a≤2，则2≤a2＋b2≤4，故选C.
4．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25
B.
C.
D.
解析：选D.a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D.
5．已知x＞0，函数的最小值是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：∵x＞0，∴函数，当且仅当x=3时取等号，
∴y的最小值是6．故选：C．
6.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9
B.
C．3
D.
解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，
所以≤＝.
即(－6≤a≤3)的最大值为.
7．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
A.＋<1
B.＋≥1
C.＋<2
D.＋≥2
解析：因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.
8.设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3
B．3－2
C．3－2
D．－1
解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2
＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
9．已知a，b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①由a，b∈R，得≥ab；②由a，b∈R，得与不一定是正数，不等式不一定成立；③ab－2＝－≤0；④2－＝－≤0，故①③④恒成立，故选C.
10.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
解析：由图形可知OF＝AB＝，OC＝.在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝＝.∵CF≥OF，
∴≤(a>0，b>0)．
11．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
12．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为
.
解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.
13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是
.
解析：∵a>0，b>0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0，
解得≥3，即ab≥9.
14．给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥＝4；
③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为
.
解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy<0，得，均为负数，∴，均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确．故选①③.
15．给出下列不等式：
①x＋≥2；
②≥2；
③≥2；
④>xy；
⑤≥.
其中正确的是________(写出序号即可)．
解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；
因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；
当x，y异号时，③不正确；
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
16．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
证明：因为a>0，b>0，c>0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
17．设a，b，c∈R＋.求证：
(1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc；
(2)(a＋b＋c)≥4.
证明：(1)∵a，b，c∈R＋，
∴左边＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2
＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(c2a＋ab2)
≥2＋2＋2＝6abc＝右边，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(2)∵a，b，c∈R＋，
∴左边＝[a＋(b＋c)]≥2·2＝4＝右边，
当且仅当a＝b＋c时，等号成立．
18.
设
求证：
【解析】证明[法一]：
当且仅当，取“=”号。
故
证明[法二]：
当且仅当，取“=”号。故
证明[法三]
当且仅当时，取“=”号。故
证明[法四]：
