2.2.2基本不等式的应用
1．若，则的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：∵（当且仅当n＝3时等号成立）故选：C．
2．已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
解析：因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
3．若0
A．a
B．2ab
C.
D．无法确定
解析：选C.因为0则a，，2ab中最大的数为，故选C.
4．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30
B．36
C．40
D．50
解析：设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.
5．已知正实数，满足，则的最小值为（
）
A．4
B．6
C．9
D．10
解析：∵，，，∴，当且仅当时，即时取“”.故答案选C
6．已知aA．3
B．2
C．4
D．1
解析：选A.因为a0，
由基本不等式可得＋b－a＝1＋＋(b－a)≥1＋2＝3，
当且仅当＝b－a(b>a)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，＋b－a的最小值为3，故选A.
7．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8
B．7
C．6
D．5
解析：选C.由已知，可得6＝1，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.
8．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
解析：f(x)＝＝＝≥1，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，故f(x)有最小值1，故选D.
9.若实数x>0，y>0，且x＋4y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：选C.根据题意，实数x>0，y>0，若x＋4y＝xy，则＋＝1，
x＋y＝(x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝2y时等号成立，
即x＋y的最小值为9，故选C.
10.若，且，恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得，即，解得或.
因此，实数的取值范围是，故选：B.
11．已知，则的最小值是_______.
解析：因为，所以，
所以（当且仅当时，等号成立）.
故答案为：3
12．已知正实数满足，则的最小值为__________．
解析：由题得,
所以，所以，
所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.
故答案为：6
13.
已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解析：y＝4x＋≥2
＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，
即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.
又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.
答案：36
14.
如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
解析：如图所示，
连接OC，设OB＝x(0所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2时，即x＝2时，等号成立．
答案：16
15.
下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当a＞0，b＞0时，；
③的最小值为；
④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
解析：①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取
错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为①
②
16.
若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是
.
解析：因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝
即的最大值为，故a≥.
17.
已知x＞0，y＞0，z＞0.
求证：≥8.
证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，
所以＋≥＞0，
＋≥＞0，
＋≥＞0，
所以
≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
18.
已知正实数a，b满足a＋b＝4，求＋的最小值．
解：因为a＋b＝4，所以(a＋1)＋(b＋3)＝8，所以8＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝＋＋2≥2＋2＝4，
所以＋≥，
当且仅当a＋1＝b＋3时，等号成立，
所以＋的最小值为.
19.已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，
求a，b的值．
解：因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝，即＝时，等号成立，
所以x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，所以ab＝16.
所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
20．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，
(1)求x的取值范围；
(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．
解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，
则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.
令y＝x＋2×≤44(x>0)，解得8≤x≤36，
则x的取值范围是8≤x≤36.
(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.
当且仅当x＝，即x≈17.0时，等号成立，
则y最小值＝24≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网2.2.2基本不等式的应用
1．若，则的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
3．若0A．a
B．2ab
C.
D．无法确定
4．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30
B．36
C．40
D．50
5．已知正实数，满足，则的最小值为（
）
A．4
B．6
C．9
D．10
6．已知aA．3
B．2
C．4
D．1
7．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8
B．7
C．6
D．5
8．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
9.若实数x>0，y>0，且x＋4y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
10.若，且，恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则的最小值是_______.
12．已知正实数满足，则的最小值为__________．
13.
已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
14.
如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
15.
下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当a＞0，b＞0时，；
③的最小值为；
④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
16.
若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是
.
17.
已知x＞0，y＞0，z＞0.
求证：≥8.
18.
已知正实数a，b满足a＋b＝4，求＋的最小值．
19.已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，
求a，b的值．
20．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，
(1)求x的取值范围；
(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．