2.3.1一元二次不等式的解法
1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0
B．<3
C．－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
2．不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．或
3．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
4．不等式6－x－2x2<0的解集是( )
5．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1
A．－2
B．－1
C．0
D．1
6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足：x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．0B．－2C．x<－2或x>1
D．－17．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－2B．{x|x<－2或x>2}
C．{x|－1D．{x|x<－1或x>1}
8．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m>
B．0C．m>0
D．m>1
10.
．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A.
B.
C．{x|－2D．{x|x<－2或x>1}
11.
若00的解集是
．
12．不等式组的解集是
.
13．若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是
.
14．已知关于的不等式的解集为，则等于________
15．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
16．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|117．求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋x＋<0；
(2)3x2＋5≤3x；
(3)9x2－6x＋1>0.
18．已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
19．已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.2.3.1一元二次不等式的解法
1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0
B．<3
C．－x2＋x－m≤0
D．x3－2x＋1>0
解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；
选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C．
2．不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．或
解析：不等式x2>1，移项得：x2﹣1>0，因式分解得：（x+1）（x﹣1）>0，
则原不等式的解集为{x|x＜-1或x>1}．故选：D．
3．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：将不等式化为，解得，
所以解集为故选B.
4．不等式6－x－2x2<0的解集是( )
解析：不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为故选D．
5．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1A．－2
B．－1
C．0
D．1
解析：根据题意可得，－1,1是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根，代入解得a＝1.
6．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足：x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．0B．－2C．x<－2或x>1
D．－1解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－27．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－2B．{x|x<－2或x>2}
C．{x|－1D．{x|x<－1或x>1}
解析：令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.
∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2.∴|x|<2，得－28．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：对任意，不等式恒成立
即恒成立
故答案为D
9.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m>
B．0C．m>0
D．m>1
解析：若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.
10.
．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A.
B.
C．{x|－2D．{x|x<－2或x>1}
解析：选A.由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，则－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1.所以2x2＋bx＋a＝2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜.
11.
若00的解集是
．
解析：原不等式可化成(x－a)(x－)<0，因为012．不等式组的解集是
.
解析：由得即x≤－1或≤x<或x>3，
故不等式组的解集为.
13．若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是
.
解析：依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1<4＋2a，即a2－2a－3<0，解得－114．已知关于的不等式的解集为，则等于________
解析：由题得、2为方程的根，
将代入，得，即.
15．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
解析：不等式有解等价于有解，
所以，故或，填.
16．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1＜x＜m}．
所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
答案：2
17．求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋x＋<0；
(2)3x2＋5≤3x；
(3)9x2－6x＋1>0.
解：(1)原不等式可以化为2x2－x－>0.
∵方程2x2－x－＝0的解是：x1＝，x2＝，
∴原不等式的解集是.
(2)原不等式变形为3x2－3x＋5≤0.
∵Δ<0，∴方程3x2－3x＋5＝0无解．
∴不等式3x2－3x＋5≤0的解集是?.
∴原不等式的解集是?.
(3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝，∴不等式9x2－6x＋1>0的解集为.
18．已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时，不等式为f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，
∴不等式的解集为
19．已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解：(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，
故解集为{x|x>0}．
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴原不等式的解集为.
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1.
②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.