2.3 一元二次方程根的判别式 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
2.3
一元二次方程根的判别式
湘教版·九年级数学上册
上课课件
回顾总结
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？
配方法
公式法
因式分解法
新课探究
我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx
+c
=0
(
a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么?
将方程ax2+
bx
+c=0
(
a≠0)配方后得到
由于a≠0，所以4a2
>0，因此我们不难发现:
(1)当b2-4ac
>0时，
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
将方程ax2+
bx
+c=0
(
a≠0)配方后得到
由于a≠0，所以4a2
>0，因此我们不难发现:
(2)当b2-4ac
=0时，
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根.
将方程ax2+
bx
+c=0
(
a≠0)配方后得到
由于a≠0，所以4a2
>0，因此我们不难发现:
(3)当b2-4ac
<0时，
由于负数在实数范围内没有平方根,所以原方程没有实数根.
我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx
+c
=
0
(a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ
=
b2-4ac
.
综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+
bx
+c
=0
(a≠0)的根的情况可由Δ
=
b2-
4ac来判断:
当Δ
>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ
=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ
<0时，原方程没有实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
(1)
3x2+4x
-3=0;
(2)
4x2=
12x
-
9;
(3)
7y=
5(y2+1
)
.
解：(1)因为Δ
=
b2-4ac
=42-4×3×(
-3
)
=16+
36
=52>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
(1)
3x2+4x
-3=0;
(2)
4x2=
12x
-
9;
(3)
7y=
5(y2+1
)
.
解：(1)因为Δ
=
b2-4ac
=42-4×3×(
-3
)
=16+
36
=52>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化为一般形式，得
4x2-
12x
+9=0.
因为Δ
=b2-4ac
=
(
-12
)2-4×4×9
=144-144=0,
所以，原方程有两个相等的实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
(1)
3x2+4x
-3=0;
(2)
4x2=
12x
-
9;
(3)
7y=
5(y2+1
)
.
(3)将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
因为Δ
=b2-4ac
=
(
-7
)2-4×5×5
=49-100=-51<0,
所以，原方程没有实数根.
课堂练习
练习
1.
一元二次方程x2-x+1=0
的根的情况为(
)
(A)有两个相等的实数根
(B)有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根
(D)没有实数根
因为Δ
=b2-4ac
=
(
-1
)2-4×1×1
=1-4=-3<0,
x2-x+1=0
所以，原方程没有实数根.
D
2.
不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
?
解：(1)因为Δ
=
b2-4ac
=32-4×1×(
-1
)
=9+
4
=13>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
2.
不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
?
解：(2)因为Δ
=
b2-4ac
=(-6)2-4×1×9
=36-36=0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
2.
不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
?
解：(3)因为Δ
=
b2-4ac
=(-3)2-4×2×4
=9-32
=-23<0，
所以，原方程没有实数根.
2.
不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
?
解：(4)将原方程化为一般形式，得
?
?
所以，原方程有两个相等的实数根.
3.
若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．
解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
?
?
4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
解：(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，
即q=-2p-5；
4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
(2)证明：令x2+px+q=0．
则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即Δ＞0，
所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．
即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
课堂小结
一元二次方程ax2+
bx
+c
=0
(a≠0)的根的情况可由Δ
=
b2-
4ac来判断:
当Δ
>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ
=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ
<0时，原方程没有实数根.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
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THANKS
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