第二章 一元二次方程章末复习 上课课件（共54张PPT）

(共54张PPT)
章末复习
湘教版·九年级数学上册
上课课件
回顾总结
一元二次方程
一元二次方程的有关概念
一元二次方程的应用
一元二次方程的解法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
配方法
公式法
因式分解法
如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是
ax2+bx
+c=0
(a，b，c是已知数，a≠0)
对于一元二次方程ax2+bx
+c=0
(a，b，c是已知数，a≠0)
，其中a，
b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
配方法
解一元二次方程的三种方法
公式法
因式分解法
一元二次方程ax2+
bx
+c
=0
(a≠0)的根的情况可由Δ
=
b2-
4ac来判断:
当Δ
>0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ
=0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ
<0时，原方程没有实数根.
即
当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系:
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.
韦达定理
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：
实际问题
建立一元二次方程模型
解一元二次方程
一元二次方程的根
实际问题的解
分析数量关系
设未知数
检验
课堂练习
A
组
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)
5x2=
49;
(2)6x2-7x2
=3x
+5;
(3)
0.01t2-
3t=2t-
1;
(4)(2y-1
)
(
2y+5
)=6y
+4.
解：(1)原方程可化为
5x2-
49=0
所以该方程的二次项系数是5、一次项系数是0、常数项是-49.
课堂练习
A
组
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)
5x2=
49;
(2)6x2-7x2
=3x
+5;
(3)
0.01t2-
3t=2t-
1;
(4)(2y-1
)
(
2y+5
)=6y
+4.
解：(2)原方程可化为
x2+3x
+5=0
所以该方程的二次项系数是1、一次项系数是3、常数项是5.
课堂练习
A
组
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)
5x2=
49;
(2)6x2-7x2
=3x
+5;
(3)
0.01t2-
3t=2t-
1;
(4)(2y-1
)
(
2y+5
)=6y
+4.
解：(3)原方程可化为
0.01t2-
5t+
1=0
所以该方程的二次项系数是0.01、一次项系数是-5、常数项是1.
课堂练习
A
组
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)
5x2=
49;
(2)6x2-7x2
=3x
+5;
(3)
0.01t2-
3t=2t-
1;
(4)(2y-1
)
(
2y+5
)=6y
+4.
解：(4)原方程可化为
4y2+2y-9=0
所以该方程的二次项系数是4、一次项系数是2、常数项是-9.
2.解下列方程:
(1)
49x2
-
144=0;
(2)
(
1-x)2=1;
(3)x2+8x
+16=0;
(4)
x
(7-x
)=4x2;
(5)
x(x-2)-3x2=0;
(6)x2-4x＋4=64.
解：原方程可化为
根据平方根的意义，得
因此，原方程的根为
(1)
49x2
-
144=0;
解：根据平方根的意义，得
因此，原方程的根为
(2)(1-x)2=1
解：原方程可化为
根据平方根的意义，得
因此，原方程的根为
(3)x2+8x
+16=0;
解：原方程可化为
5x2-7x
=0.
把方程左边因式分解，得
x
(5x
-7)=0,
由此得
x=0或
5x
-7=0.
解得
x1=0
，x2
=
.
(4)
x
(7-x
)=4x2
解：原方程可化为
x2+x
=0.
把方程左边因式分解，得
x
(x
+1)=0,
由此得
x=0或
x
+1
=0.
解得
x1=0
，x2
=-1.
(5)
x(x-2)-3x2=0
(6)x2-4x＋4=64
解：原方程可化为
(x-2)2=64.
根据平方根的意义，得
因此，原方程的根为
3.解下列方程:
(1)2x2-6x-
3=0;
(2)
x
(x
+5)=
24;
(3)
x
(x
+1)+2
(x-1)
=0;
(4)
(x-3)2+2x
(
x
-3
)=0;
(5)
3(x-2)2=x
(x-2).
解：这里a=2，b
=-6，c
=
-3.
因而
b2-4ac
=
(
-6)2-4×2×
(-3)=36+24=60>0,
因此，原方程的根为
.
所以
(1)2x2-6x-
3=0
(2)
x
(x
+5)=
24
解：原方程可化为
x2+5x
-24=0.
把方程左边因式分解，得
(x-3)
(x
+8)=0,
由此得
x-3=0或
x
+8
=0.
解得
x1=3
，x2
=-8.
(3)
x
(x
+1)+2
(x-1)
=0
解：原方程可化为
因而
b2-4ac
=
32-4×1×
(-2)=9+8=17>0,
因此，原方程的根为
.
所以
这里a=1，b
=3，c
=
-2.
x2+3x
-2=0.
(4)
(x-3)2+2x
(
x
-3
)=0
解：把方程左边因式分解，得
(x-3)
(x
-3+2x)=0,
由此得
x-3=0或
3x
-3
=0，
解得
x1=3
，x2
=1.
即
(x-3)
(3x
-3)=0
(5)
3(x-2)2=x
(x-2)
解：原方程可化为
3(x-2)2-x
(x-2)=0
把方程左边因式分解，得
(x-2)
[3(x
-2)-x]=0,
由此得
x-2=0或
2x
-6
=0.
解得
x1=2
，x2
=3.
即
(x-2)
(2x
-6)=0
4.不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.
(1)
4x2+6x＋9=0;
(2)
y2=y+5.
解：(1)因为Δ
=
b2-4ac
=62-4×4×9
=36+
144
=-108<0，
所以，原方程没有实数根.
解：(2)将原方程化为一般形式，得
y2-y-5=0
因为Δ
=b2-4ac
=
(
-1
)2-4×1×(-5)
=1+20=21>0,
所以，原方程有两个不相等的实数根.
(2)
y2=y+5
5.设x1，x2,是方程2x2-6x＋3=0的两根，求下列各式的值:
(1)
x1+x2;
(2)x1x2;
(3)
x12+x22.
解：
6.若方程x2-3x
-1=0的两根为x1，x2，求
的值.
解：由韦达定理得
7.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
解：设三个连续奇数中间的奇数为x.
由题意得
(x-2)2+x2+(x+2)2=371
整理，得
x2=121
解得
x1=11
，x2
=-11.
所以这三个奇数为9，11，13或-13，-11，-9.
8.北京奥运会的主会场“鸟巢”给世人留下了深刻的记忆.据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从最初的54000
t减少到42000
t.求平均每次用钢量降低的百分率x(精确到1%).
解：根据等量关系得
54000(
1-x)2=42000.
整理，得
(
1-x
)2=
.
解得
(不合题意，舍去).
答:平均每次用钢量降低的百分率为12%.
∴
9.将一块长方形桌布铺在长为1.5
m、宽为1
m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍.求桌布下垂的长度.
解：设桌布下垂的长度为x
m，则根据等量关系得
(2x+1.5)(2x+1)=1.5×1×2
整理，得
8x2+10x-3=0，
解得
x1=0.25
，x2
=-1.5(不合题意，舍去).
答：桌布下垂的长度为0.25m，
10.如图为一张方格纸，纸上有一三角形(上色部分)，其顶点均位于网格线的交点上.若上色部分的三角形面积为15.75
cm2，则此方格纸的面积为多少?
解：设每个小方格的边长为x
cm.
根据题意得
整理，得
x2=2.25
解得
x1=1.5
，x2
=-1.5(不合题意，舍去).
所以此方格纸的面积为4×1.5×4×1.5=36cm2.
11.现有一块矩形钢板ABCD，长AD=7.5
m，宽AB=5
m.在这块钢板上截除两个正方形得到如图所示的模具(阴影部分所示).已知
BE=
DF，且模具的面积等于原矩形钢板的面积的一半，求DF的长(精确到0.1
m).
7.5
m
5
m
x
m
x
m
解：设DF长为x
m.
∵DF+FC=DC=AB=5m，
∴PC=FC=(5-x)m.
∵BE+EP+PC=BC=AD=7.5m，
∴EP=2.5m.
依题意得
即
2x2-20x+25=0.
解得
，由于x2>5，因而舍去.
答：DF长约为1.5m.
12.如图，在
Rt
△ABC中，∠B=
90°，AC=
10
cm，BC=6
cm.现有两点P，Q分别从点A
和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动.已知点P，Q的速度分别为2
cm/s，1
cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.设P，Q两点移动时间为x
s.问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16
cm2?若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由.
解：根据题意，得AP=2x
cm，CQ=x
cm，
假设存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16
cm2.
∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8，BQ=(6-x)cm，BP=(8-2x)cm.
整理，得
x2-10x+16=0
解得
x1=2
，x2
=8.
但x2
=8时不合题意，因为P从A到B只需4s.
所以当x=2时，正好四边形APQC的面积等于16cm2.
B
组
13.解下列方程:
(1)(
3x+5
)2-6
(
3x+5
)+9=0;
(2)
x2+ax
-
2a2=0(a为常数).
解：把方程左边因式分解，得
[
(3x
+5)-3]2=0，
由此得
(3x
+5)-3=0，
解得
x1=x2
=
.
(1)(
3x+5
)2-6
(
3x+5
)+9=0;
解：把方程左边因式分解，得
(x
-a)(x+2a)=0,
由此得
x-a=0或
x
+2a
=0，
解得
x1=a，x2
=
-2a.
(2)
x2+ax
-
2a2=0(a为常数).
14.已知
a，b，c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x2-4x
+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
解：依题意得关于x的方程x2-4x
+b=0的判别式
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×b=0
即
16-4b=0
∴b=4=c≠a.
∴
△ABC是等腰三角形.
15.设x1，x2是关于x的方程x2-4x+k＋1=0的两个实数根.请问:是否存在实数k，使得x1·x2>x1+x2成立?试说明理由.
解：∵方程x2-4x+k+1=0有两个实数根，
∴
Δ
=16-4(k+1)≥0，
∴k≤3，
又x1·x2＞x1+x2，
而x1+x2=4，x1·x2=k+1，
∴k+1＞4，
所以不存在实数k，使得x1·x2>x1+x2成立.
即k＞3，与k≤3矛盾
16.已知□ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程
的两个实数根.
(1)当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若AB的长为2，那么□ABCD的周长是多少？
解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程
的两个实数根，
解得m=1,
(1)当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
关于x的一元二次方程为
∴当m为1时，平行四边形ABCD是菱形,且菱形的边长为
.
解：将x=2代入
中，
得
解得
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程
的两个实数根，
(2)若AB的长为2，那么□ABCD的周长是多少？
C
组
17.如图，一长方形地，长为x
m，宽为120
m，建筑商将它分为甲、乙、丙三个区域，甲、乙为正方形.现计划甲区域建筑住宅区，乙区域建筑商场，丙区域开辟为公园.若已知丙区域的面积为3200
m2，试求x的值.
3200
m2
解：依题意得甲区域的边长为120m，由图可知乙区域的边长为(x-120)m.
则丙区域的长为：(x-120)m
宽为：(240-x)m
根据等量关系得
(x-120)
(240-x)=3200
即x2-360x+32000=0
解得
x1=160
，x2
=200.
当x=160时，丙区域的长为x-120=160-120=40(m)，宽为120-40=80(m)，80＞40，∴x=160不符合题意，舍去.
∴x=200.
18.有如下问题:“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线?”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究:
(1)请你帮小明在图表的横线上填上归纳出的一般性结论;
(2)若某人共画了171条直线，则该平面上共有多少个点?
(2)若某人共画了171条直线，则该平面上共有多少个点?
解：由
得
n2-n-342=0.
解得
n1=19
，n2
=-18(舍去).
所以平面上共有19个点.
谢谢观看
THANKS
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