江苏省无锡市洛社高级中学2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．
1. 已知为等差数列，，，则___________．
2.在中，已知，则为 三角形．
3. 不等式表示的区域面积为 ．
4．等差数列中，，则前项和________．
5.在中，，则最大角的余弦值是　　　．
6.正项等比数列中，若则_______．.
7.不等式的解集为 ．
8.设公比为的等比数列的前n项和为，若、、成等差数列，则　　　．
9. 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边，则△ABC的面积等于 ．
10. 已知数列的前项和满足，则通项公式为 ．
11. 若，，．则下列不等式：①； ②； ③； ④.其中成立的是 ．(写出所有正确命题的序号).
12. 已知中,,若该三角形有两解,
则的取值范围是 ．
13. 某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45 方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105 的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是　　　　　　　小时.
14. 关于的不等式在 上恒成立，求实数的取值范围．
二．解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15. (本题14分) 设函数，
（1）若不等式的解集．求的值；
（2）若求的最小值．
16. (本题14分) 在中，若．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，且求的值．
17. (本题15分) 设数列的前n项和为，且，数列为等差数列，且．
求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和．
18. (本题15分)在中，所对的边分别是，不等式对一切实数恒成立．
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值，且时，求面积的最大值并指出取最大值时的形状．
19. (本题16分) 设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；
（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.
20. (本题16分) 某公司2011年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2012年起每年利润比上一年减少4万元．2012年初，该公司一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2012年为第一年）的利润为万元．
设从2012年起的前n年，该公司不开发新项目的累计利润为万元，开发新项目的累计利润为万元（须扣除开发所投入资金），求，的表达式．
依上述预测，该公司从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？
2011-2012学年第二学期高一数学期中考试试卷
参考答案
一、填空题
解答题：
15.（1）由题意得，……………3
即解得……………7
（2）……………9
得；……………13
当且仅当时取=……………14
17. 解：（1）当时，； …………… 2分
当时，，此式当时也成立 ……… 5分
……… 6分
，……… 7分
易得 ……… 9分
（2）由（1） ……… 10分 ……… 12分
……… 15分
19. 【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得………………2分
即解得……………………5分.
故. ………9分
（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得， ……………11分
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.
当时，；当时，；当时，.
故存在正整数t，使得成等差数列. ………………… 16分
20. 解： …………… 2分
即 ………… 4分
……………6分
即 …………… 8分
由（1）得，…….9分
设，则
恒成立
是数集上的单调递增数列， …………… 12分
观察计算得 …………… 15分
所以从第5年开始，开发新项目的利润更大。 …………… 16分