北师大版八年级上册4.2 一次函数与正比例函数 课件（42张）

(共42张PPT)
北师大版
数学
八年级上册
第四章
一次函数
4.2
一次函数与正比例函数
1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式。
2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系。
3.能利用一次函数解决简单的实际问题。
学习目标
1.什么是函数？
2.函数有哪些表示法？
复习引入
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.
函数的表示法：
①图象法
②列表法
③关系式法（解析式法）
导入新知
x/kg
1
2
3
4
5
…
y/cm
…
（1）计算所挂物体的质量分别为1
kg，2
kg，3
kg，4
kg，5
kg时弹簧的长度，并填入下表：
3.5
4
4.5
5
5.5
复习引入
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
新知一
一次函数与正比例函数的概念
某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1
kg，弹簧长度y增加0.5
cm.
问题1
解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x.
分析：
它们之间的数量关系是:
弹簧长度=原长+增加的长度
合作探究
汽车行驶路程x/km
0
50
100
150
200
300
耗油量y/L
某辆汽车油箱中原有汽油60
L，汽车每行驶50
km耗油6
L.
（1）完成下表：
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
y=0.12x
z
=
60-0.12x
问题2
研讨以下两个函数关系式:
(1)y=0.5x+3.
(2)y=-0.12x+60.
它们的结构有什么特点？
解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.
2．x和y的指数都是一次.
3．自变量x的系数都不为0.
若两个变量
x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b
(k,
b为常数，k≠0）的形式，则称
y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k,b为常数，k≠0）
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0）
定义：
思考
一次函数的结构特征有哪些？
（1）k≠0
.
（2）x
的次数是1.
（3）常数项b可以为一切实数.
一次函数
正比例函数
答：一次函数的结构特征：
例1
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y=-x-4;
(2)y＝5x2-6；
(3)y=2πx;
(6)y=8x2+x(1-8x);
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数；
(7)不是一次函数，也不是正比例函数.
（7）y=kx+b.
典例精析1
一次函数与正比例函数的判断
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
方法点拨
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
答：（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
巩固新知
例2
已知函数y=(m-2)x+4-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：（1）由题意可得m-2≠0，
解得m≠2.
即m≠2时，这个函数是一次函数.
典例精析2
利用一次函数的概念求字母的值
注意：利用定义求一次函数
解析式时，必须保证：
（1）k
≠
0；
（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，
解得m=-2.
即m=-2时，这个函数是正比例函数.
合作探究
已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得：
因此
m=±1.
（2）由题意得：m+1=0
,
解得m=
-1.
巩固新知
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x
,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y
(cm2
)与它的半径x
(cm)之间的关系.
新知二
一次函数与正比例函数的应用
例1
合作探究
解：这个水池每时增加5m3水，x
h增加5x
m3水，
因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x
h后这个水池有水y
m3.
某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x
kg大米时，花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
解：
y=2.2x，y是x的一次函数,是正比例函数.
巩固新知
自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240（元）.
（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x
（元）之间的关系式；
解：当每次收入超过800元但不超过4
000元时，
y=(x-800)×20%，
即y=0.2x-160;
例2
合作探究
（2）某人某次取得劳务报酬3
500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
解：当x=3500时，y=0.2×3500-160=540（元）；
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
解：
因为(4
000-800)×20%=640（元），600<640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过4
000元.
设此人这次取得的劳务报酬是x元，则
600=0.2x-160，
所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.
解得x=3800.
某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
解:(1)
y1
=x.
解:(2)
y2=0.4x+12.
解:(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
巩固新知
1.
下列函数中，y是x的一次函数的是（
）
①
②
③
④
A.
①②③
B.
①③④
C.
①④
D.
②③④
C
课堂练习
2.下列说法正确的是（
）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
3.
要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足
,
.
n=2
m≠2
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
所以y＝3x－9，
y是x的一次函数．
y＝3×2.5
-
9＝
-1.5．
解
：(1)设y＝k(x－3)，
把
x＝4，y＝3
代入上式，得
3＝
k(4－3)，
解得
k＝3，
(2)当x＝2.5时，
所以y＝3(x－3)，
一次函数与正比例函数
一次函数形式：y=kx+b（k≠0）
特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数
一次函数的简单应用
归纳新知
B
课后练习
2．设圆的面积为S，半径为R，那么下列说法正确的是(
)
A．S是R的一次函数
B．S是R的正比例函数
C．S与R2成正比例关系
D．以上都不正确
C
②④⑥
4．对于函数y＝(k－3)x＋k＋3，当k＝____时，它是正比例函数；
当k____时，它是一次函数．
5．如果y＝(k＋4)x|k|－3＋2是一次函数，那么k的值是____．
－3
≠3
4
6．已知函数y＝(m－3)x＋m2－9.
(1)当m为何值时，此函数是正比例函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
7．为了改善生态环境，政府决定绿化荒地，计划第一年先植树2万亩，以后每年都植树2.5万亩，结果植树的总面积y(万亩)与时间x(年)的函数关系式是(
)
A．y＝2.5x＋2
B．y＝2x＋2.5
C．y＝2.5x－0.5
D．y＝2x－0.5
C
8．在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升7.5元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(升)之间的函数关系式是
．
y＝7.5x
9．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有____根，
第n个图形中，火柴棒有
根．若用y表示火柴棒的根数，
n表示正方形的个数，则y与n的函数关系式是
．
13
3n＋1
y＝3n＋1
10．若一次函数y＝kx＋5，当x＝3时函数值为－1，则当x＝5时的函数值为(
)
A．5　　　　B．－5　　　　C．8　　　　D．－2
11．若函数y1＝3x＋2，y2＝－11x－5，且y＝y1＋y2，则当y的值是13时，x的值为____．
B
－2
12．已知y－2与x成正比例，当x＝－2时，y＝4.求y与x的函数关系式．
解：设y－2＝kx(k≠0)，∵当x＝－2时，y＝4.∴4－2＝－2k，
解得k＝－1.∴y－2＝－x，y＝－x＋2
13．若3y＋2与x－6成正比例，则y是x的(
)
A．正比例函数
B．一次函数
C．没有函数关系
D．以上答案均不正确
B
14．一个长为120
m，宽为100
m的长方形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x
m，宽增加y
m，则y与x的函数关系式是
，自变量的取值范围是____，且y是x的____函数．
y＝x＋20
x≥0
一次
15．某种优质蚊香一盘长105
cm(如图)，小海点燃后观察发现每小时蚊香缩短10
cm.
(1)写出蚊香点燃后的长度y(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系式；
(2)该盘蚊香可使用多长时间？
解：(1)y＝105－10t　(2)蚊香燃尽时，即y＝0.
由(1)得105－10t＝0，即t＝10.5，∴该盘蚊香可使用10.5
h
16．(2020·哈尔滨模拟)李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米，AB边的长为y米．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)长方形的宽为5米时，求长方形的长．
17．某市内出租车行程4
km以内起步收费8元，行程超过4
km时，每超过1
km加收1.80元，写出行程大于4
km时，收费y(元)与所行里程x(km)之间的函数关系式，并指出它是一个什么函数？自变量的取值范围是什么？
解：y＝8＋1.8(x－4)，即y＝1.8x＋0.8，是一次函数，x>4
18．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．
(1)分别求出0≤x≤200和x>200时，y与x的函数表达式；
(2)小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？
解：(1)当0≤x≤200时，y与x的函数表达式是y＝0.55x；
当x>200时，y与x的函数表达式是y＝0.55×200＋0.7(x－200)，
即y＝0.7x－30　
(2)∵小明家5月份的电费超过110元，∴用电超过200度．
将y＝117代入y＝0.7x－30得x＝210.答：小明家5月份用电210度
再
见